不定积分解题方法及技巧总结.pdf
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1、不定积分解题方法总结摘要:在微分学中,不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循” 。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词:不定积分;总结;解题方法不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。 (这就不多说了)2.第一类换元法。 (凑微分)设 f()具有原函数 F()。则f(x)(x)dx f(x)d(x) F(x)C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项
2、内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2:例 1:ln(x1)ln xdxx(x1)111 x1xx(x1)【解】(ln(x1)ln x)ln(x1)ln x12dx (ln(x1)ln x)d(ln(x1)ln x) (ln(x1)ln x) Cx(x1)2例 2:1ln xdx(xln x)2【解】(xln x)1ln x1ln xdxln x1dx x(x1)2(xln x)2xln xC3.第二类换元法:设x (t)是单调、可导的函数,并且(t) 0.又设f(t)(t)具有原函数,则有
3、换元公式f (x)dx f(t)(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:(1) a2 x2:x asint;x acost(2) x2a2:x atant;x acott;x asht(3) x2a2:x asect;x acsct;x achtn(4)naxb:axb t(5)naxbnaxb: tcxdcxd1(6)当被积函数含有xmax2bxc,有时倒代换x 也奏效。t(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sinxdx tx2tsintdt 2 (tcostcostdt) 2tcost 2sintC 2xcosx 2s
4、inxC但当根号内出现高次幂时可能保留根号,x dxx12 11x1tt11tt61 t11212 11 t2dttdt dt6t51 t12dt161 t121arcsinx6c6(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sinxdx tx2tsintdt 2 (tcostcostdt) 2tcost 2sintC 2xcosx 2sinxC但当根号内出现高次幂时可能保留根号,x dxx12 11x1tt11tt61 t11212 11 t2dttdt dt6t51 t12dt161 t121arcsinx6c64.分部积分法.公式:dd分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积
5、分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取、时,通常基于以下两点考虑:(1)降低多项式部分的系数(2)简化被积函数的类型举两个例子吧!例 3:x3arccosx1 x2dx【解】观察被积函数,选取变换t arccosx,则x3arccosx1 x2cos3tdx t(sint)dt tcos3tdt sint132t(sin t 1)d sint td(3sin t sint) 11tsin3tsint ( sin3t sint)dt 3311tsin3tsint ( sin2t 1)d cost 33121tsin3tsint cost cos3t C 339121x3x(x22) 1 x2a
6、rccosxC933例 4:arcsin2xdx【解】22arcsin xdx xsin xx2arcsin x11 x2dxxarcsin x2arcsin xd 1 x2xarcsin x2 1 x2arcsin x1 x2xarcsin x2 1 x2arcsin x2xC21 x2dx 上面的例 3,降低了多项式系数;例 4,简化了被积函数的类型。有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。在dd中,、的选取有下面简单的规律:(1) Pm(x), eax,sinax,cosax(2) ln x,arctanx,arcsinx, Pm(x)(3) e , cosx,sinx将以上规律
7、化成一个图就是:(lnx arcsinx)Pm(x)(axsinx)ax(3)会出现循环,注意,选取的函数不能改变。但是,当 ln x, arcsin x时,是无法求解的。对于(3)情况,有两个通用公式:eaxI1esinbxdx 2(asinbxbcosbx)Ca b2eaxaxI2ecosbxdx 2(acosbxbsinbx)Ca b2ax(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中,常可以看到分部积分)5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数1dx上下同乘sin x变形为22sinx cosx1cosxdcosxdx sinx c
8、osx1 cos2x1 cosx令u cosx,则为udu111(1 u21 u21 u241 u41 u)du111 cosx lnc21 cosx41 cosx1x1xln tan2sec2c22422.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系, 注意sin2x cos2x 1的使用。sinxcosx1sinx cosx 1dxdxsinx cosx2sinx cosx1 dxsinx cosx22 sin(x/ 4)21xsinx cosx1lntan28c22 2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难,适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.
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