《线性代数》期终试卷4.doc
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1、线性代数模拟试卷 4 一、 填空题(每空 2 分, 共 30 分): 1 若 n 阶方阵 均可逆, ,则 。BA,CAXB X2 设矩阵nmA的秩为nr ,则齐次线性方程组0AX一定有非零解,且自由未知量的个数为 。 3 设 是 元齐次线性方程组 的解空间,其中,则 的维数为 。Sn0AXrAR)(S4 若向量组 可由另一向量组线性表示,r,21r,21则 ),(21rr),(21rr5设 4 阶方阵 的秩为 2 ,则其伴随阵 的秩为 。A*A6 设 是方阵 的一个特征值,则矩阵的一个特征值是 。AAAA33237设,它们单位正交,则= ,= 。 210y 00xxy8已知三维向量空间的两组基
2、是与,且,321,321,311322232132则由基到基的过渡矩阵是 。321,321,9 设三阶方阵 A 的特征值为 1,-1,2,B=,则= ,B 的特征值为 ,的特征值为 235AA AA,+2A+E 的特征值为 , , B 能否与对角阵相似 ?2AB二设是 AX=0 的基础解系,不是 AX=0 的解,即 A0,证明t,21,线性无关。t,21三计算行列式 (111111aaaaaaDn ) 1a四当 取何值时,线性方程组 21) 1(12) 3(321321321xxxxxxxxx有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解。五已知 , 为 3 阶单位矩阵,求一个正交矩阵
3、, 111 ETaaEAP使得 为对角阵,并写出该对角阵 .APP1六、设,均为 n 维非零列向量,线性无关且与分别正交。321,321,321,试证明,线性无关。321,七、求一个正交变换化二次型为标准型3231212 32 22 132184444),(xxxxxxxxxAXXxxxfT1. 若 ,则 。 2. 设 , , ,则 三、(满分 8 分) 四、 设 , , ,求 ,使得 。 (满分 12 分) 1. 若 ,则 。 2. 设 , , ,则 三、(满分 8 分) 四、 设 , , ,求 ,使得 。 (满分 12 分) 五、 在 中有两组基: 和 写出 到 的变换公式以及 到 的变换公式。 (满分 8 分) 六、 (满分 14 分) 七、 (满分 16 分) 八、 设 为已知的矩阵,集合 ,Anm阶方阵为nXOAXXV,1 验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域下的线性空间; VR2 当 时,求该线性空间的一组基。 ) 1 , 0(A(满分 10 分) 九、 证明题( 本大题共 2 个小题,每小题 6 分, 满分 12 分 ): 1 设 为一向量组,其中 线性相关, 线性无关,证明 能由 线性表示。2 若 为 阶方阵, ,证明: 为可逆矩阵。
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