2022年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.7.1空间角课时跟踪检测理.doc
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1、 空间角课 时 跟 踪 检 测1(2017年天津卷)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PAAC4,AB2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角CEMN的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长解:如图,以A为原点,分别以,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)(1)证明:(0,2,0),(2,0,2)设
2、n(x,y,z)为平面BDE的法向量,则即不妨设z1,可得n(1,0,1)又(1,2,1),可得n0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1,y1,z1)为平面EMN的法向量,则因为(0,2,1),(1,2,1),所以不妨设y11,可得n2(4,1,2)因此有cosn1,n2,于是sinn1,n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意,设AHh(0h4),则H(0,0,h),进而可得(1,2,h),(2,2,2)由已知得|cos,|,整理得10h221h80,解得h或h.所以线段AH的长为或.2.如图,四棱锥PABCD中,
3、PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段AD上一点,AM2MD,N为PC的中点(1)证明:MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解:(1)证明:由已知得AMAD2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)如图,取BC的中点E,连接AE.由ABAC得AEBC,从而AEAD,且AE .以A为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,P(
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