2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编:13 二次函数.doc
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1、1二次函数二次函数一、选择题一、选择题1. ( 2014广东,第 10 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是( )A函数有最小值B对称轴是直线 x=C当 x ,y 随 x 的增大而减小D当1x2 时,y0考点:二次函数的性质分析:根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断 A;根据图形直接判断 B;根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断 C;根据图象,当1x2 时,抛物线落在 x 轴的下方,则 y0,从而判断 D解答:解:A、由抛物线的开口向下,可知 a0,函数有最小值,正确,故本选项不符合题意;B、由图象可知,对称轴为
2、 x= ,正确,故本选项不符合题意;C、因为 a0,所以,当 x 时,y 随 x 的增大而减小,正确,故本选项不符合题意;D、由图象可知,当1x2 时,y0,错误,故本选项符合题意故选 D点评:本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题22. (2014广西贺州,第 10 题 3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,且a0)的图象如图所示,则一次函数 y=cx+与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是( )ABCD考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象分析: 先根据二次函数的图象得到 a0,b0,c0,再根据一次函数图象与系数
3、的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置解答: 解:抛物线开口向上,a0,抛物线的对称轴为直线 x=0,b0,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,c0,一次函数 y=cx+的图象过第二、三、四象限,反比例函数 y=分布在第二、四象限故选 B点评: 本题考查了二次函数的图象:二次函数 y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数,a0)的图象为抛物线,当 a0,抛物线开口向上;当 a0,抛物线开口向下对称轴为直线3x=;与 y 轴的交点坐标为(0,c) 也考查了一次函数图象和反比例函数的图象3(2014 年四川资阳,第 10 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给
4、出下列四个结论:4acb20;4a+c2b;3b+2c0;m(am+b)+ba(m1) ,其中正确结论的个数是( )A4 个B3 个C2 个D1 个考点:二次函数图象与系数的关系分析:利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系,需要根据图形,逐一判断解答:解:抛物线和 x 轴有两个交点,b24ac0,4acb20,正确;对称轴是直线 x1,和 x 轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,抛物线和 x 轴的另一个交点在(3,0)和(2,0)之间,把(2,0)代入抛物线得:y=4a2b+c0,4a+c2b,错误;把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c0,2a+2b+2c0,b=2a,3b,
5、2c0,正确;抛物线的对称轴是直线 x=1,y=ab+c 的值最大,即把(m,0) (m0)代入得:y=am2+bm+cab+c,4am2+bm+ba,即 m(am+b)+ba,正确;即正确的有 3 个,故选 B点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系,也要掌握在图象上表示一元二次方程 ax2+bx+c=0的解的方法同时注意特殊点的运用4(2014 年天津市,第 12 题 3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,且关于x 的一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根,有下列结论:b24ac0;ab
6、c0;m2其中,正确结论的个数是( )A 0B1C2D3考点:二次函数图象与系数的关系分析:由图象可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点,进而判断;先根据抛物线的开口向下可知 a0,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,根据对称轴在 y 轴右侧得出 b 与 0 的关系,然后根据有理数乘法法则判断;一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根,则可转化为 ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点,即可求出 m 的取值范围,判断即可解答:解:二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点,b24ac0,故正确;抛物线的开口
7、向下,a0,抛物线与 y 轴交于正半轴,c0,5对称轴 x=0,ab0,a0,b0,abc0,故正确;一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根,y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点,由图可得,m2,故正确故选 D点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用5 (2014新疆,第 6 题 5 分)对于二次函数 y=(x1)2+2 的图象,下列说法正确的是( )A开口向下B对称轴是 x=1C顶点坐标是(1,2)D与 x 轴有两个交点考点: 二次函数的性质专题: 常规题型分析: 根据抛物线
8、的性质由 a=1 得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2) ,对称轴为直线 x=1,从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点解答: 解:二次函数 y=(x1)2+2 的图象开口向上,顶点坐标为(1,2) ,对称轴为直线x=1,抛物线与 x 轴没有公共点故选 C点评: 本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点式为y=a(x)2+,的顶点坐标是(,) ,对称轴直线6x=b2a,当 a0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向上,当 a0 时,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向下6 (2014舟山,第 10 题 3 分)当2x1 时,二次函数
9、y=(xm)2+m2+1 有最大值4,则实数 m 的值为( )AB或C2 或D2 或或考点: 二次函数的最值专题: 分类讨论分析: 根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可解答: 解:二次函数的对称轴为直线 x=m,m2 时,x=2 时二次函数有最大值,此时(2m)2+m2+1=4,解得 m=,与 m2 矛盾,故 m 值不存在;当2m1 时,x=m 时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,解得 m=,m=(舍去) ;当 m1 时,x=1 时,二次函数有最大值,此时,(1m)2+m2+1=4,解得 m=2,综上所述,m 的值为 2 或故选 C点评: 本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况
10、讨论77.(2014毕节地区,第 11 题 3 分)抛物线 y=2x2,y=2x2,共有的性质是( )A开口向下B对称轴是 y 轴C都有最低点Dy 随 x 的增大而减小考点:二次函数的性质分析:根据二次函数的性质解题解答:解:(1)y=2x2开口向上,对称轴为 y 轴,有最低点,顶点为原点;(2)y=2x2开口向下,对称轴为 y 轴,有最高点,顶点为原点;(3)y= x2开口向上,对称轴为 y 轴,有最低点,顶点为原点故选 B点评:考查二次函数顶点式 y=a(xh)2+k 的性质二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象具有如下性质:当 a0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向上
11、,x时,y 随 x 的增大而减小;x时,y 随 x 的增大而增大;x=时,y 取得最小值,即顶点是抛物线的最低点当 a0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向下,x时,y 随 x 的增大而增大;x时,y 随 x 的增大而减小;x=时,y 取得最大值,即顶点是抛物线的最高点8.(2014孝感,第 12 题 3 分)抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D(1,2) ,与 x 轴的一个交点 A 在点(3,0)和(2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:b24ac0;a+b+c0;ca=2;方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根8其中正确结论的个数为( )A1 个B2 个C
12、3 个D4 个考点: 二次函数图象与系数的关系;抛物线与 x 轴的交点专题: 数形结合分析: 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x=1,则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当 x=1 时,y0,则 a+b+c0;由抛物线的顶点为D(1,2)得 ab+c=2,由抛物线的对称轴为直线 x=1 得 b=2a,所以ca=2;根据二次函数的最大值问题,当 x=1 时,二次函数有最大值为 2,即只有x=1 时,ax2+bx+c=2,所以说方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根解答: 解:抛物
13、线与 x 轴有两个交点,b24ac0,所以错误;顶点为 D(1,2) ,抛物线的对称轴为直线 x=1,抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点(3,0)和(2,0)之间,抛物线与 x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,当 x=1 时,y0,a+b+c0,所以正确;抛物线的顶点为 D(1,2) ,ab+c=2,9抛物线的对称轴为直线 x=1,b=2a,a2a+c=2,即 ca=2,所以正确;当 x=1 时,二次函数有最大值为 2,即只有 x=1 时,ax2+bx+c=2,方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根,所以正确故选 C点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函
14、数 y=ax2+bx+c(a0)的图象为抛物线,当 a0,抛物线开口向上;对称轴为直线 x=;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c) ;当 b24ac0,抛物线与 x 轴有两个交点;当 b24ac=0,抛物线与 x轴有一个交点;当 b24ac0,抛物线与 x 轴没有交点9 (2014台湾,第 26 题 3 分)已知 a、h、k 为三数,且二次函数 ya(xh)2k 在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点若 a0,0h10,则 h 之值可能为下列何者?( )A1B3C5D7分析:先画出抛物线的大致图象,根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线 xh,由于抛物线过(0,5)、(10,8)两点
15、若 a0,0h10,则点(0,5)到对称轴的距离大于点(10,8)到对称轴的距离,所以 h010h,然后解不等式后进行判断解:抛物线的对称轴为直线 xh,而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上,h010h,解得 h5故选 D点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数 yax2bxc(a0),二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小,当 a0 时,抛物线向上开口;当 a0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置,当 a 与 b 同号时(即 ab0),10对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab0),对称轴在 y 轴右;常数项 c 决定
16、抛物线与y 轴交点抛物线与 y 轴交于(0,c);抛物线与 x 轴交点个数由决定,b24ac0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;b24ac0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;b24ac0 时,抛物线与 x 轴没有交点10 (2014浙江金华,第 9 题 4 分)如图是二次函数2yx2x4 的图象,使y1成立的 x 的取值范围是【 】A1x3 Bx1 Cx1 Dx1 或x3【答案】D【解析】试题分析:由图象可知,当y1时,x1 或x3. 故选 D考点:1.曲线上点的坐标与方程的关系;2.数形结合思想的应用11 (2014浙江宁波,第 12 题 4 分)已知点 A(a2b,24ab)在抛物
17、线 y=x2+4x+10 上,则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A(3,7)B(1,7)C(4,10)D(0,10)考点:二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化对称分析:把点 A 坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出 a、b,再求出点 A 的坐标,然后11求出抛物线的对称轴,再根据对称性求解即可解答:解:点 A(a2b,24ab)在抛物线 y=x2+4x+10 上,(a2b)2+4(a2b)+10=24ab,a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab,(a+2)2+4(b1)2=0,a+2=0,b1=0,解得 a=2,b=1,a2b=2
18、21=4,24ab=24(2)1=10,点 A 的坐标为(4,10) ,对称轴为直线 x=2,点 A 关于对称轴的对称点的坐标为(0,10) 故选 D点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,坐标与图形的变化对称,把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键12.(2014菏泽第 8 题 3 分)如图,RtABC 中,AC=BC=2,正方形 CDEF 的顶点 D、F分别在 AC、BC 边上,C、D 两点不重合,设 CD 的长度为 x,ABC 与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y,则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是( )ABCD12考点:动点问
19、题的函数图象专题:数形结合分析:分类讨论:当 0x1 时,根据正方形的面积公式得到 y=x2;当1x2 时,ED 交 AB 于 M,EF 交 AB 于 N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到y=x22(x1)2,配方得到 y=(x2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断解答:解:当 0x1 时,y=x2,当 1x2 时,ED 交 AB 于 M,EF 交 AB 于 N,如图,CD=x,则 AD=2x,RtABC 中,AC=BC=2,ADM 为等腰直角三角形,DM=2x,EM=x(2x)=2x2,SENM=(2x2)2=2(x1)2,y=x22(x1)2
20、=x2+4x2=(x2)2+2,y=,故选 A13.(2014济宁,第 8 题 3 分) “如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 ”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若 m、n(mn)是关于 x 的方程 1(xa) (xb)=0 的两根,且 ab,则a、b、m、n 的大小关系是( )13AmabnBamnbCambnDmanb考点: 抛物线与 x 轴的交点分析: 依题意画出函数 y=(xa) (xb)图象草图,根据二次函数的增减性求解解答: 解:依题意,画出函数 y=(xa) (xb)的图象,如图所示
21、函数图象为抛物线,开口向上,与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a,b(ab) 方程 1(xa) (xb)=0 转化为(xa) (xb)=1,方程的两根是抛物线y=(xa) (xb)与直线 y=1 的两个交点由 mn,可知对称轴左侧交点横坐标为 m,右侧为 n由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y 随 x 增大而减少,则有 ma;在对称轴右侧,y 随 x 增大而增大,则有 bn综上所述,可知 mabn故选 A点评: 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算14 (2014 年山东泰安,第 17 题 3
22、分)已知函数 y=(xm) (xn) (其中 mn)的图象如图所示,则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y=的图象可能是( )14ABCD分析:根据二次函数图象判断出 m1,n=1,然后求出 m+n0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可解:由图可知,m1,n=1,所以,m+n0,所以,一次函数 y=mx+n 经过第二四象限,且与 y 轴相交于点(0,1) ,反比例函数 y=的图象位于第二四象限,纵观各选项,只有 C 选项图形符合故选 C点评:本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,观察二次函数图象判断出 m、n 的取值是解题的关键15.(2014 年山东泰安,第 2
23、0 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a0)中的 x 与 y 的部分对应值如下表:X1013y1353下列结论:(1)ac0;(2)当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而减小(3)3 是方程 ax2+(b1)x+c=0 的一个根;(4)当1x3 时,ax2+(b1)x+c0其中正确的个数为( )A4 个B3 个C2 个D1 个分析:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解15解:由图表中数据可得出:x=1 时,y=5 值最大,所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下,a0;又 x=0 时,y=3,
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