2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编:21 全等三角形.doc
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1、1全等三角形全等三角形( (包括命题包括命题) )一、选择题一、选择题1(2014 年四川资阳,第 6 题 3 分)下列命题中,真命题是( )A 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B 对角线互相垂直的平行四边形是矩形C 对角线垂直的梯形是等腰梯形D 对角线相等的菱形是正方形考点:命题与定理分析:利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项解答:解:A、有可能是等腰梯形,故错误;B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故错误;C、对角线相等的梯形是等腰梯形,故错误;D、正确,故选 D点评:本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解特殊四边形的判定定理,难度不大2.
2、(2014毕节地区,第 5 题 3 分)下列叙述正确的是( )A方差越大,说明数据就越稳定B在不等式两边同乘或同除以一个不为 0 的数时,不等号的方向不变C不在同一直线上的三点确定一个圆D两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点:方差;不等式的性质;全等三角形的判定;确定圆的条件分析:利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项2解答:解:A、方差越大,越不稳定,故选项错误;B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数,不等号方向改变,故选项错误;C、正确;D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故选项错误故选 C点评:本题考查了方差的
3、意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件,属于基本定理的应用,较为简单3 (2014台湾,第 9 题 3 分)如图,坐标平面上,ABC 与DEF 全等,其中 A、B、C的对应顶点分别为 D、E、F,且 ABBC5若 A 点的坐标为(3,1),B、C 两点在方程式 y3 的图形上,D、E 两点在 y 轴上,则 F 点到 y 轴的距离为何?( )A2B3C4D5分析:如图,作 AH、CK、FP 分别垂直 BC、AB、DE 于 H、K、P由 ABBC,ABCDEF,就可以得出AKCCHADPF,就可以得出结论解:如图,作 AH、CK、FP 分别垂直 BC、AB、DE 于 H、K、PDPFA
4、KCCHA90ABBC,BACBCA在AKC 和CHA 中。AKCCHA, ACCA, BACBCA)AKCCHA(ASA),3KCHAB、C 两点在方程式 y3 的图形上,且 A 点的坐标为(3,1),AH4KC4ABCDEF,BACEDF,ACDF在AKC 和DPF 中,AKCDPF, BACEDF, ACDF)AKCDPF(AAS),KCPF4故选 C点评:本题考查了坐标与图象的性质的运用,垂直的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等腰三角形的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键4. (2014益阳,第 7 题,4 分)如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 是对角线 BD 上的
5、两点,如果添加一个条件使ABECDF,则添加的条件是( )(第 1 题图)AAE=CFBBE=FDCBF=DED1=24考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定分析: 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可解答: 解:A、当 AE=CF 无法得出ABECDF,故此选项符合题意;B、当 BE=FD,平行四边形 ABCD 中,AB=CD,ABE=CDF,在ABE 和CDF 中,ABECDF(SAS) ,故此选项错误;C、当 BF=ED,BE=DF,平行四边形 ABCD 中,AB=CD,ABE=CDF,在ABE 和CDF 中,ABECDF(SAS) ,故此选项错误;D、当1=2,平
6、行四边形 ABCD 中,AB=CD,ABE=CDF,在ABE 和CDF 中,ABECDF(ASA) ,故此选项错误;故选:A5点评: 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键5. (2014 年江苏南京,第 6 题,2 分)如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标是(2,1) ,点 C 的纵坐标是 4,则 B、C 两点的坐标分别是( )(第 2 题图)A ( ,3) 、 ( ,4)B( ,3) 、 ( ,4)C ( , ) 、 ( ,4)D ( , ) 、 ( ,4)考点:矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分
7、析:首先过点 A 作 ADx 轴于点 D,过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 C 作 CFy轴,过点 A 作 AFx 轴,交点为 F,易得CAFBOE,AODOBE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案解答:过点 A 作 ADx 轴于点 D,过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 C 作 CFy 轴,过点 A 作 AFx 轴,交点为 F,四边形 AOBC 是矩形,ACOB,AC=OB,CAF=BOE,在ACF 和OBE 中,CAFBOE(AAS) ,BE=CF=41=3,AOD+BOE=BOE+OBE=90,AOD=OBE,ADO=OEB=90,AODOBE,即,OE= ,即点 B(
8、,3) ,AF=OE= ,点 C 的横坐标为:(2 )= ,点 D( ,4) 故选 B6点评:此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用6.(2014扬州,第 8 题,3 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=6,ABBC,ADCD,BAD=60,点 M、N 分别在 AB、AD 边上,若AM:MB=AN:ND=1:2,则 tanMCN=( )(第 3 题图)ABCD2考点: 全等三角形的判定与性质;三角形的面积;角平分线的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理专题: 计算题分析: 连接 AC,
9、通过三角形全等,求得BAC=30,从而求得 BC 的长,然后根据勾股定理求得 CM 的长,连接 MN,过 M 点作 MEON 于 E,则MNA 是等边三角形求得 MN=2,设NF=x,表示出 CF,根据勾股定理即可求得 MF,然后求得 tanMCN解答: 解:AB=AD=6,AM:MB=AN:ND=1:2,AM=AN=2,BM=DN=4,连接 MN,连接 AC,7ABBC,ADCD,BAD=60在 RtABC 与 RtADC 中,RtABCRtADC(LH)BAC=DAC= BAD=30,MC=NC,BC= AC,AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,3BC2=AB2,BC=
10、2,在 RtBMC 中,CM=2AN=AM,MAN=60,MAN 是等边三角形,MN=AM=AN=2,过 M 点作 MEON 于 E,设 NE=x,则 CE=2x,MN2NE2=MC2EC2,即 4x2=(2)2(2x)2,解得:x=,EC=2=,ME=,tanMCN=故选 A点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理以及解直角三角函数,熟练掌握全8等三角形的判定与性质是解本题的关键7 (2014 年山东泰安,第 16 题 3 分)将两个斜边长相等的三角形纸片如图放置,其中ACB=CED=90,A=45,D=30把DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到D1CE1,如图,连接 D1B,则
11、E1D1B 的度数为( )A10B20C7.5D15分析:根据直角三角形两锐角互余求出DCE=60,旋转的性质可得BCE1=15,然后求出BCD1=45,从而得到BCD1=A,利用“边角边”证明ABC 和D1CB 全等,根据全等三角形对应角相等可得BD1C=ABC=45,再根据E1D1B=BD1CCD1E1计算即可得解解:CED=90,D=30,DCE=60,DCE 绕点 C 顺时针旋转 15,BCE1=15,BCD1=6015=45,BCD1=A,在ABC 和D1CB 中,ABCD1CB(SAS) ,BD1C=ABC=45,E1D1B=BD1CCD1E1=4530=15故选 D点评:本题考查
12、了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并求出ABC 和D1CB 全等是解题的关键二二.填空题填空题1 (2014新疆,第 14 题 5 分)如图,RtABC 中,ABC=90,DE 垂直平分 AC,垂足为 O,ADBC,且 AB=3,BC=4,则 AD 的长为 9考点: 勾股定理;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质分析: 先根据勾股定理求出 AC 的长,再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长,根据相似三角形的判定定理得出AODCBA,由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答: 解:RtABC 中,ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,DE
13、 垂直平分 AC,垂足为 O,OA= AC= ,AOD=B=90,ADBC,A=C,AODCBA,=,即=,解得 AD=故答案为:点评: 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键2.(2014毕节地区,第 20 题 5 分)如图,在 RtABC 中,ABC=90,AB=3,AC=5,点E 在 BC 上,将ABC 沿 AE 折叠,使点 B 落在 AC 边上的点 B处,则 BE 的长为 考点:翻折变换(折叠问题)分析:利用勾股定理求出 BC=4,设 BE=x,则 CE=4x,在 RtBEC 中,利用10勾股
14、定理解出 x 的值即可解答:解:BC=4,由折叠的性质得:BE=BE,AB=AB,设 BE=x,则 BE=x,CE=4x,BC=ACAB=ACAB=2,在 RtBEC 中,BE2+BC2=EC2,即 x2+22=(4x)2,解得:x= 故答案为: 点评:本题考查了翻折变换的知识,解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式3.(2014武汉,第 16 题 3 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则 BD 的长为 考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形分析:根据等式的性质,可得BAD 与CAD的关系,根据 SAS,可得BAD
15、 与CAD的关系,根据全等三角形的性质,可得 BD 与 CD的关系,根据勾股定理,可得答案解答:解:作 ADAD,AD=AD,连接 CD,DD,如图:,BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD,在BAD 与CAD中,BADCAD(SAS),11BD=CDDAD=90由勾股定理得 DD=,DDA+ADC=90由勾股定理得 CD=,BD=CD=,故答案为:点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,勾股定理,作出全等图形是解题关键4. (2014泰州,第 16 题,3 分)如图,正方向 ABCD 的边长为 3cm,E 为 CD 边上一点,DAE=30,M 为 AE
16、 的中点,过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若PQ=AE,则 AP 等于 1 或 2 cm(第 1 题图)考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质;解直角三角形分析: 根据题意画出图形,过 P 作 PNBC,交 BC 于点 N,由 ABCD 为正方形,得到AD=DC=PN,在直角三角形 ADE 中,利用锐角三角函数定义求出 DE 的长,进而利12用勾股定理求出 AE 的长,根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长,利用 HL 得到三角形ADE 与三角形 PQN 全等,利用全等三角形对应边,对应角相等得到DE=NQ,DAE=NPQ=30,再由 PN 与 DC 平行,得到PF
17、A=DEA=60,进而得到 PM 垂直于 AE,在直角三角形 APM 中,根据 AM 的长,利用锐角三角函数定义求出 AP 的长,再利用对称性确定出 AP的长即可解答: 解:根据题意画出图形,过 P 作 PNBC,交 BC 于点 N,四边形 ABCD 为正方形,AD=DC=PN,在 RtADE 中,DAE=30,AD=3cm,tan30=,即 DE=cm,根据勾股定理得:AE=2cm,M 为 AE 的中点,AM= AE=cm,在 RtADE 和 RtPNQ 中,RtADERtPNQ(HL) ,DE=NQ,DAE=NPQ=30,PNDC,PFA=DEA=60,PMF=90,即 PMAF,在 Rt
18、AMP 中,MAP=30,cos30=,AP=2cm;由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm,综上,AP 等于 1cm 或 2cm故答案为:1 或 213点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键三三.解答题解答题1(2014 年四川资阳,第 23 题 11 分)如图,已知直线 l1l2,线段 AB 在直线 l1上,BC 垂直于 l1交 l2于点 C,且 AB=BC,P 是线段 BC 上异于两端点的一点,过点 P 的直线分别交l2、l1于点 D、E(点 A、E 位于点 B 的两侧) ,满足 BP=BE,连接 AP、CE(1)求
19、证:ABPCBE;(2)连结 AD、BD,BD 与 AP 相交于点 F如图 2当=2 时,求证:APBD;当=n(n1)时,设PAD 的面积为 S1,PCE 的面积为 S2,求的值考点:相似形综合题分析:(1)求出ABP=CBE,根据 SAS 推出即可;(2)延长 AP 交 CE 于点 H,求出 APCE,证出CPDBPE,推出 DP=PE,求出平行四边形 BDCE,推出 CEBD 即可;分别用 S 表示出PAD 和PCE 的面积,代入求出即可解答:(1)证明:BC直线 l1,ABP=CBE,在ABP 和CBE 中14ABPCBE(SAS) ;(2)证明:延长 AP 交 CE 于点 H,ABP
20、CBE,PAB=ECB,PAB+AEE=ECB+AEH=90,APCE,=2,即 P 为 BC 的中点,直线 l1直线 l2,CPDBPE,= ,DP=PE,四边形 BDCE 是平行四边形,CEBD,APCE,APBD;解:=NBC=nBP,CP=(n1)BP,CDBE,CPDBPE,=n1,即 S2=(n1)S,SPAB=SBCE=nS,PAE=(n+1)S,=n1,S1=(n+1) (n1)S,15=n+1点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,主要考查了学生的推理能力,题目比较好,有一定的难度2 (2014新疆,第 20 题 10 分
21、)如图,已知ABC,按如下步骤作图:分别以 A,C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧,两弧交于 P,Q 两点;作直线 PQ,分别交 AB,AC 于点 E,D,连接 CE;过 C 作 CFAB 交 PQ 于点 F,连接 AF(1)求证:AEDCFD;(2)求证:四边形 AECF 是菱形考点: 菱形的判定;全等三角形的判定与性质;作图基本作图分析: (1)由作图知:PQ 为线段 AC 的垂直平分线,从而得到 AE=CE,AD=CD,然后根据 CFAB 得到EAC=FCA,CFD=AED,利用 ASA 证得两三角形全等即可;16(2)根据全等得到 AE=CF,然后根据 EF 为线段 AC 的垂直平
22、分线,得到EC=EA,FC=FA,从而得到 EC=EA=FC=FA,利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 AECF 为菱形解答: 解:(1)由作图知:PQ 为线段 AC 的垂直平分线,AE=CE,AD=CD,CFABEAC=FCA,CFD=AED,在AED 与CFD 中,AEDCFD;(2)AEDCFD,AE=CF,EF 为线段 AC 的垂直平分线,EC=EA,FC=FA,EC=EA=FC=FA,四边形 AECF 为菱形点评: 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图,解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线3 (2014 年云南省,第 16 题 5 分)如图,在ABC 和ABD
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