材料力学教程_7.弯曲变形.ppt
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1、第六章 弯曲变形,第六章 弯曲变形,重点掌握内容:,1、计算梁在荷载作用下的变形问题,2、建立刚度条件,3、利用梁的变形解决超静定问题,第一节 梁的变形和位移,1、挠曲线:,在平面弯曲情况,梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线。这条连续、光滑的曲线梁的挠曲线。 (弹性曲线),2、截面转角和挠度,(梁弯曲变形的两个基本量),(1)挠度:梁变形后,横截面的形心在垂直 于梁轴线(x 轴)方向上所产生 的线位移,称为梁在截面的挠度。,一般情况下,不同横截面的挠度值不同。,横截面挠度随截面位置(x 轴)而改变的规律用挠曲线方程表示。即:,符号:挠度向下为正, 向上为负。 单位:mm,P,(2)转角
2、:横截面绕中性轴所转过的角度。,由梁弯曲的平面假设可知:梁的横截面变形前垂直于轴线,变形后仍垂直于挠曲线。,A:曲线OAB在A点的切线与X轴间的夹角。,符号:转角从X轴逆时针转至切线方向为正, 反之为负。 单位:弧度,(3)截面挠度与转角的关系,挠曲线的斜率:,工程中由于是小变形, 极小。可用:,注: 挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。,弹性曲线的小挠度微分方程,力学公式,数学公式,此即弹性曲线的小挠度微分方程,挠曲线近似微分方程,积分一次:,再次积分:,积分常数:需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。,边界条件和连续光滑条件:梁上某些横截面处 位移为已知的条件。,挠曲线近似微
3、分方程,例题1:求该悬臂梁的最大挠度和转角,解:,建立坐标、写弯矩方程,积分一次:,再次积分:,第三节 用积分法求弯曲变形,P,利用边界条件确定积分常数:,例题2:求该简支梁的最大挠度和转角,解:,建立坐标、写弯矩方程,积分一次:,再次积分:,利用边界条件确定积分常数:,例题3:求该简支梁的最大挠度和转角,解:,建立坐标、写弯矩方程,积分一次:,再次积分:,利用边界条件确定积分常数:,第四节 用叠加法求弯曲变形,* 叠加法:当梁上同时作用几个荷载时, 在小变形情况下,且梁内应力不超过比例极限,则每个荷载所引起的变形(挠度和转角)将不受其它荷载的影响。,即:梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作
4、用时,在该截面所引起的位移的代数和。,* 荷载叠加:将作用在梁上的荷载分解成单个荷载,利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加,就可求得梁在多个荷载作用下的总变形。,* 逐段刚化法:将梁分成几段,分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移,然后计算其总和。,即:考虑某段梁的变形时,将其它梁段视为刚体,在利用外力平移计算其它梁段的变形,最后叠加。,例题4:求最大挠度和转角,例题5:求:梁跨中点处的挠度。已知:抗弯刚度EI,解:,例题6:已知简支外伸梁抗弯刚度EI。试求:A点挠度,解:,第五节 提高梁刚度的一些措施,1、刚度条件:,例题7:已知:P1=2KN,P2=1KN。L=400mm,a
5、=100mm,外径D=80mm,内径d=40mm,E=200GPa,截面C处挠度不超过两轴承间距离的10-4,轴承B处转角不超过10-3弧度。试校核该主轴的刚度。,满足刚度条件,2、提高梁刚度的措施,注: 梁的变形不仅与荷载、支承有关,而且与材料、跨度等也有关。,(1) 提高梁的抗弯刚度 EI,对弹性模量来说,即使采用高强合金钢也只是增加了许用应力,但 E 值比较接近,(提高梁的抗弯强度的措施)。要增加梁的抗弯刚度还是需要考虑横截面的惯性矩。,梁的变形与横截面的惯性矩成反比,增加惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。(与提高梁的抗弯强度的办法相类似),为提高梁的强度可以将梁的局部截面惯性矩增加,即采用变
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