2017年高考理科数学全国卷2含答案.docx
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1、理科数学试卷 第 1 页(共 24 页)理科数学试卷 第 2 页(共 24 页)绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 23 题,共 150 分,共 6 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答卷前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁
2、,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.( 3i 1i)A.B.C.D.12i12i2i2i2.设集合,.若,则( 1,2,4A240Bx xxm1AB B )A.B.C.D.1, 3 1,0 1,3 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )A.1 盏B.3 盏C.5 盏
3、D.9 盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.B.9063C.D.42365.设,满足约束条件则的最小值是( xy2330, 233 0, 3 0.xy xy y 2zxy)A.B.C.1D.9 1596.安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有( )A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙
4、看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的1a S ( )A.2B.3C.4D.59.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得2222:1xyCab0a 0b 22(2)4xy的弦长为 2,则的离心率为( C)A.2B.C.D.322 3 310.已知直三棱柱中,则异面直111ABCABC120ABC2AB 11BCCC-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_姓名_ 准考证号_理科数学试卷 第
5、3 页(共 24 页)理科数学试卷 第 4 页(共 24 页)线与所成角的余弦值为( 1AB1BC)A.B.C.D.3 215 510 53 311.若是函数的极值点,则的极小值为( 2x 21( )(1)exf xxax( )f x)A.B.C.D.1132e35e12.已知是边长为 2 的等边三角形,为平面内一点,则ABCPABC的最小是()PAPBPC ( )A.B.C. D.23 24 31二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,0.02100表示抽到的二等品件数,则 .XDX 14.函数的最大
6、值是 .23( )sin3cos4fxxx(0,)2x15.等差数列的前项和为,则 . nannS33a 410S 11nkkS16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.F2:8C yxMCFMyN若为的中点,则 .MFNFN 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分.17.(12 分)的内角,的对边分别为,已知.ABCABCabc2sin()8sin2BAC(1)求;cosB(2)若,的面积为,求.6acABC2b18.(12 分)海
7、水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记表示事件:“旧养殖法的箱产量低A于 50 kg,新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ,估计的概率;A(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01).理科数学试卷 第 5 页(共 24 页)理科数学试卷 第 6 页(共 24 页)2()P K
8、k0.0500.0100.001 附: k3.8416.63510.8282 2() ()()()()n adbcKab cd ac bd19.(12 分)如图,四棱锥中,侧面为等边三角形PABCDPAD且垂直于底面,ABCD1 2ABBCAD,是的中点.o90BADABC EPD(1)证明:直线平面;CEPAB(2)点在棱上,且直线与底面所MPCBMABCD成角为,求二面角的余弦值.o45MABD20.(12 分)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为OM2 2:12xCyMx,点满足.NP2NPNM (1)求点的轨迹方程;P(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线Q3x
9、1OP PQ POQ过的左焦点.lCF21.(12 分)已知函数,且.2( )lnfaxaxxxx( )0f x (1)求;a(2)证明:存在唯一的极大值点,且.( )f x0x22 0e()2f x(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修 44:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线xOyx的极坐标方程为.1Ccos4(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点M1CPOM| | 16OMOP的轨迹的直角坐标方程;P2C(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最
10、大值.A(2,)3 B2COAB姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效-理科数学试卷 第 7 页(共 24 页)理科数学试卷 第 8 页(共 24 页)23.选修 45:不等式选讲(10 分)已知,.证明:0a 0b 332ab(1);55()()4ab ab(2).2ab 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】试题分析:由复数除法的运算法则有:,故选 D.3i(3i)(1i)2i1i2名师点睛:复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的过程.在做复数的除法时,要注意利用共轭复数的性质:若,互为共轭复数,则1
11、z2z,通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.22 1212|zzzz【考点】复数的除法2.【答案】C【解析】试题分析:由得,即是方程的根,所以1AB 1B1x 240xxm,故选 C140m3m 1,3B 名师点睛:集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性两个防范:不要忽视元素的互异性;保证运算的准确性【考点】交集运算,元素与集合的关系3.【答案】B【解析】试题分析:设塔的顶层共有灯盏,则各层的灯数构成一个首项为,公比为xx2 的等比数列,结合等比数列的求和公式有:,解得,即塔的顶层7(12 )381
12、12x3x 共有灯 3 盏,故选 B.名师点睛:用数列知识解相关的实际问题,关键是列出相关信息,合理建立数学模型数列模型,判断是等差数列还是等比数列模型;求解时要明确目标,即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题,然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中,进行检验,最终得出结论.【考点】等比数列的应用,等比数列的求和公式4.【答案】B【解析】试题分析:由题意,该几何体是一个组合体,下半部分是一个底面半径为 3,高为 4 的圆柱,其体积,上半部分是一个底面半径为 3,高为 6 的2 13436V 圆柱的一半,其体积,故该组合体的体
13、积2 21(36)272V 故选 B12362763VVV 名师点睛:在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视理科数学试卷 第 9 页(共 24 页)理科数学试卷 第 10 页(共 24 页)图中为虚线在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解【考点】三视图,组合体的体积5.【答案】A【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如下图中阴
14、影部分所示,目标函数即:,其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距,2yxz z2k 数形结合可得目标函数在点处取得最小值,故( 6, 3)B min2( 6)( 3)15Z 选 A.名师点睛:求线性目标函数的最值,当时,直线过可行域且在(0)zaxby ab0b轴上截距最大时,值最大,在轴截距最小时,值最小;当时,直线过可行yzyz0b域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.yzyz【考点】应用线性规划求最值6.【答案】D【解析】试题分析:由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同
15、2 4C的安排方式共有种故选 D23 43CA36名师点睛:(1)解排列组合问题要遵循两个原则:按元素(或位置)的性质进行分类;按事情发生的过程进行分步具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置) ,再考虑其他元素(或位置) (2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组注意各种分组类型中,不同分组方法的求解【考点】排列与组合,分步乘法计数原理7.【答案】D【解析】试题分析:由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人一人优秀一人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩则知道自己的成绩,
16、即乙、丁可以知道自己的成绩.故选 D.名师点睛:合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)【考点】合情推理8.【答案】B【解析】试题分析:阅读程序框图,初始化数值,.1a 1K 0S 循环结果执行如下:第一次:,;011S 1a 2K 第二次:,;121S 1a 3K 第三次:,;132S 1a 4K 第四次:,;242S 1a 5K 第五次:,;253S 1a 6
17、K 第六次:,.363S 1a 7K 结束循环,输出.故选 B.3S 名师点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构;要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题;按照题目的要求完成解答并验证.【考点】程序框图理科数学试卷 第 11 页(共 24 页)理科数学试卷 第 12 页(共 24 页)9.【答案】A【解析】试题分析:由几何关系可得,双曲线的渐近线方程22221xy ab(00)ab,为,圆心到渐近线距离为,则点到直线0bxay(2,0)22213d (2,0)的距离为,0bxay222023babdcab 即,整理可得,双曲线的离心率故
18、选 A2224()3ca c224ca2242cea名师点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ,常见有两种方法:求出,代入公式;只需要根据一个accea条件得到关于,的齐次式,结合转化为,的齐次式,然后等式abc222bcaac(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式) ,解方程(不等式)即a2ae可得(的取值范围) ee【考点】双曲线的离心率,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式10.【答案】C【解析】试题分析:如图所示,补成直四棱柱,1111ABCDABC D则所求角为,1BC D1= 2BC2= 2122 1 cos 60 = 3
19、BD ,11= 5C D AB易得,因此,故选 C.222 11=C DBDBC1 1 1210cos=55BCBC DC D名师点睛:平移法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;计算:求该角的值,常利用解三角形;取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补(02,角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围. 【考点】异面直线所成的角,余弦定理,补形的应用11.【答案】A
20、【解析】试题分析:由题可得,12121( )(2)e(1)e(2)1exxxfxxaxaxxaxa因为,所以,故,( 2)0f 1a 21( )(1)exf xxx21( )(2)exfxxx令,解得或,所以在上单调递增,在( )0fx2x 1x ( )f x(, 2),(1,) 上单调递减,( 2,1)所以的极小值为,故选 A( )f x1 1( )(1 1 1)e11f 名师点睛:(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在( )yf x0x0()0fx左侧与右侧的符号不相同;(2)若在内有极值,那么在0x( )fx( )f x()ab,( )f x内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或
21、减的函数没有极值()ab,【考点】函数的极值,函数的单调性12.【答案】B【解析】试题分析:如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原BCxBCDAyD点建立平面直角坐标系,则,设,所以(0, 3)A( 1,0)B (1,0)C( , )P x y,所以,(, 3)PAxy ( 1,)PBxy (1,)PCxy ( 2 , 2 )PBPCxy 理科数学试卷 第 13 页(共 24 页)理科数学试卷 第 14 页(共 24 页),当时,所求222333()22 ( 3)22()222PAPBPCxyyxy 3(0)2P ,最小值为,故选 B.3 2【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种
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