全概率公式与贝叶斯公式ppt课件.ppt
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1、16.6.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式解:B=AB+B且AB与B互不相容。P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.70.95+0.30.8=0.905P ABP A BP B()(|)( )P A P B AP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)0 7 0 950 7 0 950 3 0 8.0 735.例1 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70,乙厂占30,甲厂产品的合格率是95,乙厂的合格率是80若用事件A,分别表示甲、乙两厂的产品,B表示产品为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率,及买
2、到合格灯泡是甲厂生产的概率。2定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组并且都具有正概率,则对任何一个事件B,有iiiP BP A P B A( )() (|)证:A1,A2,两两互斥,故A1B,A2B,两两互斥BB且iiBA()iiA B由加法法则iiP BP A B( )()再由乘法法则iiiP A BP A P B A()() (|)iiiP BP A P B A( )() (|)故3定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组,且都具有正概率,则对任何一个概率不为零的事件B,有mmmiiiP AP B AP A |BP A P B A() (|)()()
3、(|)mmP A BP ABP B证:()(|)( )mmiiiP AP B AP A P B A() (|)() (|)各原因下条件概率已知 求事件发生概率求是某种原因造成得概率 事件已发生全概率贝叶斯4例2 设5支枪中有2支未经试射校正,3支已校正。一射手用校正过的枪射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击,中靶率为0.4。(1)该射手任取一支枪射击,中靶的概率是多少?(2)若任取一支枪射击,结果未中靶,求该枪未校正的概率。解:设A表示枪已校正,B表示射击中靶3P A5( ),则2P A5( ) P B A0 9(|).P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0 6(|)
4、.1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|)320 90 455.0 7 .P A P B A2 P A BP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)20 65230 60 155.0 8 .5例3 有三个同样的箱子,A箱中有4个黑球1个白球,B箱中有3个黑球3个白球,C箱中有3个黑球5个白球。现任取一箱,再从中任取一球,求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球,求它取自B箱的概率。解:用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球用D表示取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。1P AP BP C3(
5、 )( )( )且115P D AP D BP D C528(|)(|)(|)61 P DP A P D AP B P D BP C P D C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|)111115353238531200 442.P B P D B2 P B DP A P D AP B P D BP C P D C( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)113211111535323820530 378.74P A0 410( ).例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。解:分别用A、B、C表
6、示甲、乙、丙抽到难签。P BP A P B AP A P B A( )( ) (|)( ) (|)436410910936900 4 .P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C AB( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)432463643643654109810981098109810982887200 4 .8例5
7、设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5,即若用A表示验血阳性,B表示受验者患病,则P A BP A B5(|)(|)%。若受检人群中仅有0.5患此病,即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。P B P A BP B AP B P A BP B P A B解:( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)0 005 0 950 005 0 950 995 0 05.0 087.若有10000人受检,患病者仅50人,其中验血阳性约47.5人而9950健康人中,验血阳性者为99500.05497.5人97 7 独立试验概型独立试验概型(一一)事件的独立性事件的独立性故若A独立于B,则B
8、也独立于A,称事件A与事件B相互独立。P AP A B( )(|)若P ABP B()( )P ABP BP A()( )( )则P B A(|)关于独立性有如下性质:定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响,即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。定义2 若n (n2)个事件A1,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,称A1,A2,An相互独立。10(1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)证:必要性若A与B中有一个事件概率为零,结论成立。设A与B的概率都不为零,由独立性P(B|A)=P(B)而由乘法法则可得P(AB)
9、=P(A)P(B|A) =P(A)P(B)充分性设P(B)0,则P ABP A BP B()(|)( )P A P BP B( ) ( )( )=P(A)即A与B独立。11(2)若事件A与B独立,则A与B, A与B, A与B中的每一对事件都相互独立。证:P ABP AAB()()P AP AB( )()P A P B( ) ( )类似可证其它两对事件独立。=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)由(1)可知,A与B独立。12(3)若事件A1,A2,An相互独立,则有P(A1An)=P(A1)P(An)证:P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-1)12n1n1n
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