1.5(全概率公式和贝叶斯公式).ppt
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1、 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式引例:引例:有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球,2号装有号装有 3 红红 1 黑球,黑球,3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球.某人从中某人从中随机取一罐随机取一罐,在从中,在从中任意取出一任意取出一球球,求取得红球的概率求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率?如何求取得红球的概率?第第1章章 概率论基础概率论基础 定定理理1.2 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 ,A1,A2,An为为E的的一组事件,且满足:一组事件,且满足:(1)A1,A2,An两两两两
2、互互不不相相容容,i=1,2,n;(2)则对任一事件则对任一事件B,有,有 (1.7)(1.7)称为称为全概率公式全概率公式称称满满足足(1)和和(2)的的A1,A2,An为为完完备备事事件件组组或或样本空间的一个划分样本空间的一个划分1.5.1 全概率公式全概率公式证明:证明:因为因为由于由于A1,A2,An两两互不相容,两两互不相容,由有限可加性由有限可加性由假设及乘法公式得到由假设及乘法公式得到 利利用用全全概概率率公公式式求求事事件件B的的概概率率,关关键键是是寻寻求求完完备事件组备事件组A1,A2,An;寻寻求求完完备备事事件件组组A1,A2,An相相当当于于找找导导致致事事件件B发
3、生的所有互不相容的事件发生的所有互不相容的事件1.5.1 全概率公式全概率公式 有有三三个个罐罐子子,1号号装装有有 2 红红 1 黑黑球球,2号号装装有有 3 红红 1 黑黑球球,3号号装装有有 2 红红 2 黑黑球球.某某人人从从中中随随机机取取一一罐罐,再再从从中中任任意意取取出出一一球球,求求取取得得红红球球的的概概率率.解解 记记 Ai=取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1,2,3;B=取得红球取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生,发生,A1,A2,A3构成完备事件组构成完备事件组代入数据计算得:代入数据计算得:P(B)0.639.123再看引例再看引例
4、 依题意依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1 全概率公式全概率公式【例例1.15】假假设设有有3箱箱同同种种型型号号零零件件,里里面面分分别别装装有有50件件、30件件、40件件,而而且且一一等等品品分分别别有有20件件、12件件和和24件件,现现在在任任取取一一箱箱,从从中中不不放放回回地地先先后后取取出出两两个零件,试求个零件,试求:(1)先取出的零件是一等品的概率;先取出的零件是一等品的概率;(2)两次取出的零件均为一等品的概率两次取出的零件均为一等品的概率 解解:设设Ai=“任取的一箱为第任取的一箱
5、为第i箱零件箱零件”,i=1,2,3,Bj=“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”,j=1,2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件组,构成完备事件组,且且1.5.1 全概率公式全概率公式 (1)由全概率公式得由全概率公式得 1.5.1 全概率公式全概率公式 (2)因为因为由全概率公式得由全概率公式得1.5.1 全概率公式全概率公式引例:引例:某人从任一罐中任意摸出一球,发现某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自是红球,求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是“已知结果求已知结果求原因原因”的问题是求一的问题是求一个条件概率个条件概率.下面就介绍为解决
6、这类问题而引出的公式:下面就介绍为解决这类问题而引出的公式:Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式1.5.1 全概率公式全概率公式 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式定定理理1.3 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 ,B为为E的的事事件件,A1,A2,An为完备事件组,且为完备事件组,且P(B)0,P(Ai)0,i=1,2,n,则,则 (1.8)(1.8)式称为式称为贝叶斯公式贝叶斯公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式证明证明该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件B已发生的条件下,寻找导致已发生的条
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