专题六GARCH类模型.ppt
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1、专题六 GARCH类模型 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date专题内容 ARCH模型及其参数估计 GARCH模型及其参数估计 EGARCH模型 TGARCH模型 GAR
2、CH-M模型 案例分析ARCH模型 ARCH模型。由Engle(1982)引入。, 2 , 1, 2 , 1, 0, 0)(, 2 , 1,)var(, 0)()(01)()var(, 0)(),(0022222211022221222110tqiqARCHARCHqtEqARzzzPARExxxPARpxttittttttqtqtttttpptttttttt;为它满足:的分布是受约束的,因注意:白噪声过程。一般还假设。过程,记作阶的服从则称独立同分布,且有其中,过程服从,它的平方若一个随机过程外。所有的根都在单位圆之的特征根多项式过程是一稳定过程,它。过程,且为独立同分布的白噪声其中,如果阶
3、的自回归表示形式有一个随机变量ARCH模型2211022122210222102212),|(1)()(10, 001qtqtqttttqtttqiqqtEARCHtARCHEqARCHzzz公式计算。干扰的函数,可由递推随机过程的条件方差时过去,的方法。在每一个时刻件方差出了计算时间序列的条模型的重要特征是:给为一常数。的无条件方差为,那么这样,若成立,则等价于。若的所有根均在单位圆外根方程为一个平稳过程,特征为了确保ARCH模型:ML估计服从非标准正态分布。)(服从标准正态分布;)(考虑两种情况:模型的参数估计,这里。其中,可以表示为:值。中可以包括滞后的为已知的回归变量,其模型中的。,。
4、估计所用数据为已知,并记个观察值的前一般假设。为了计算方便起见,针对如下模型:ttqtqtttttttttTqqtttttvvARCHhvhqARCHyXyyyyyyqyqARCHXy21,)(,)(2222211021021ARCH模型:ML估计。这里同理:。这里的分布如下:因此。进一步这里服从标准正态分布,则的分布,由于观察第一个样本。令。其中:服从标准正态分布针对如下模型22222211102121121122001011211111112112112200101212122010111111011011)()()(,2)(exp21),|()()()(,2)(exp21),|()()(
5、)(), 0(,)(,)(XyXyXyhhXyhYXyfXyXyXyhhXyhYXyfyXyXyXyhhhNvyXXXXyyyyYqARCHXyvqtqtqttttttttttttqqqqqqqqqttqtttttttARCH模型:ML估计)( ,)( , 1 )(,0/)(2221)()(121)(ln21);Y,|(ln)(/)(21)ln(21)2ln(2);,|(ln)(:,)(,)(22111222221t12111101XyXyzhXzXhhhhXyXyhhXyflhXyhTYXyfLqARCHXyvqtqttttttttqjjtjtjttttttttttttttTttttTttT
6、ttttqtttt这里令然函数回归模型的条件对数似。,和要估计的参数包括。其中:服从标准正态分布针对如下模型ARCH模型:ML估计的解。为方程:的最大似然估计参数向量0)(ln0/)(2)(121)()(121)(ln21)(ln)(ln)()(ln112212221LhXzXhhhhXyXyhhLLlLTtttttqjjtjtjtttTtttttttttTttARCH模型:ML估计TttttttTtjtjttjtqjjtttttddhTIXLETIXXhhXXTIXLETIINTINT1212122121211)()z(z21Y,|)(ln121Y,|)(ln1,), 0()(), 0()(
7、,其一致估计值为,其一致估计值为这里态的极限分布:在一定的条件下,有正是一致的估计,和计值通过计算可以得到,估ARCH模型式更加复杂。的一阶和二阶偏微分形。其中需要估计的参数为其对数似然函数为:这里密度函数可写成:有条件方差过程。相应于样本分布的服从有如果。其中:服从非标准正态分布针对如下模型)(ln,)2()(1ln21)ln(21)2(2/2/ ) 1(ln);,|(ln)(ln,)2(1 )2(2/2/ ) 1()(,)()t()(,)(1212/111222221102/ )1(22/12/111LkkhXykhkkkTYXyfLhkhhkkkfhyyqARCHkqARCHXyvTtt
8、ttTttTttttqtqtttkttttttTtttttGARCH模型.)()()(,q,3 , 2 , 1),1 , 0()()(12022110之后多项式的商它可表示成两个有限阶为无穷阶滞后多项式:这里,异方差可表示为:条件过程的阶数。令独立同分布,且有中,过程假设在模型引入。为了弥补这一弱点,估计方法的效率会降低参数估计中迭代过大,在样本有限时,模型的阶数若的结构:决定于条件异方差模型jjjtttttttqtqttttttLLLLhARCHTtNvvvhqARCHGARCHqARCHhhvhqARCHGARCH模型为白噪声过程。时,;当时,当。过程,记过程,简称该过程即为广义的其中的常
9、数项的上述形式下:实际上,在的根都在单位圆之外。的特征方程:其中,滞后多项式如下:后多项式的商可表示成两个有限阶滞tttrqtqttrtrtttrrrrqqqrqARCHrr,qGARCHGARCHARCHkhhhkhLzzzLLLLLLLLLLL0)(0)()1 ()(01)(1 (1)(1)()(,)(0210222221122110221221221GARCH模型证明略。其中的充分必要条件为和,并有过程是稳定的随机过程定义的上述重要定理:qiiqiittttstkEqrGARCHh11s10) 1 (,) 1 (1) 1 () 1 ()(0),(cov)1 () 1 (1 ()(D, 0
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