Sobolev空间的建立.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-dateSobolev空间的建立Sobolev空间的建立Sobolev空间一、定义:(一)弱导数的定义:设,对于给定的重指标,称为的阶弱导数,如果存在函数,使得对于成立.并记.(二)Sobolev空间的定义:对p1,m是非负整数,定义Sobolev空间 .在中引入范数下面证明按范数是赋范空间.(i)非负性:当时,任意的,则,且对任意均成立;当时,任意的,则,且对任意均成立;(
2、ii)齐次性:当时,任意,有;当时,任意,有;(iii)三角不等式性:当时,任意,有;当时,任意,有.所以,Sobolev空间是一个赋范空间. 二、Sobolev空间的主要性质: (一)完备性:是Banach空间. 证明 只要证明是完备的.任取中的Cauchy序列,则.而 .即是中的Cauch列,由的完备性知,存在,使得.在弱收敛的意义下,即对任意,有.特别对任意,有.这是因为 (应用Holder不等式)令得.其中.在利用弱导数的定义得,对于任意时有 .即当时,在内弱收敛于,记成 由极限的唯一性,得 且 .这就说明,若是中的Cauchy序列,则必存在,使得 .即,是完备的.从而是Banach空
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