2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书:第8章 第2节 空间图形的基本关系与公理 .doc
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1、第二节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题(对应学生用书第125页)1空间图形的公理(1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义:过空间任
2、意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角范围:.(3)定理(等角定理)空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a与平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a1异面直线的判定定理经过平面内一
3、点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线2等角定理的引申(1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等(2)在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补3唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点
4、,则这两个平面重合()(4)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D根据确定平面的公理和推论知选项D正确2若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是()A平面内的所有直线与a异面B平面内不存在与a平行的直线C平面内存在唯一的直线与a平行D平面内的直线与a都相交B由题意知直线a与平面相交,则平面内不存在与a平行的直线,故选B.3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C
5、与EF所成的角的大小为()A30B45C60D90C连接B1D1,D1C(图略),则B1D1EF,故D1B1C为所求的角,又B1D1B1CD1C,D1B1C60.4如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件_时,四边形EFGH为正方形(1)ACBD(2)ACBD且ACBD (1)若四边形EFGH为菱形,则EFEH,EFAC,EHBD,ACBD.(2)若四边形EFGH为正方形,则EFEH且EFEH,EFAC,EHBD,ACBD且ACBD.(对应学生用书第126页)考点1平面基本性
6、质的应用共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题:公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据基本公理3证明这些点都在交线上;同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上(2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该点(3)证明点、直线共面问题:纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合(1)以下命题中,正确命题的个数是()不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
7、若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3(2)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点求证:E,C,D1,F四点共面;CE,D1F,DA三线共点(1)B正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;中若点A,B,C在同一条直线上,则A,B,C,D,E不一定共面,故错误;中,直线b,c可能是异面直线,故错误;中,当四条线段构成空间四边形时,四条线段不共面,故错误(2)证明如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C
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