2022年高等数学教案第二章 .pdf
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1、学习必备欢迎下载第一讲I授课题目 : 2.1 导数概念II教学目的与要求 : 1. 理解导数的概念,理解导数的几何意义;2. 会用导数描述一些物理量;3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。III教学重点与难点: 重点:导数的概念难点:用导数的定义判断函数的可导性IV讲授内容 : 微分学是微积分的重要组成部分,它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念, 而导数的概念的形成与直线运动的速度,切线问题有密切的关系。一、直线运动的速度,切线问题1直线运动的速度先建立坐标系:设某点沿直线运动, 在直线上引入原点和单位点(即表示实数1 的点) ,
2、使直线成为数轴。此外,再取定一个时刻作为测量时间的零点,设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s(简称位置),运动完全由位置函数所确定。位置函数:)(tfs(1)从时刻0t到t一个时间间隔,有平均速度为:0000)()(tttftfttss(2)时间间隔较短,比值在实践中可用来说明动点在时刻0t的速度,但动点在时刻0t的速度的精确概念还得让0tt,即:00)()(lim0tttftfvtt(3)极限值叫做动点在时刻0t的(瞬时)速度,给出了求瞬时速度的方法。2 切线问题建立直角坐标系,函数的图形为曲线,分析切线的定义,就得曲线上任一点处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
3、结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载的切线的斜率为:y ( )yf xN T C M x 00)()(lim0 xxxfxfkxx(4)割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式:00)()(l i m0 xxxfxfxx(5)此处的0 xx和)()(0 xfxf的分别是函数)(xfy的自变量的增量x和函数的增量y式( 5)写成:0000()()limlimxxf xxf xyxx(6)由它们在数量关系上的共性,就得出函数的导数的概念。2.导数的定义定义1 设函数)(xfy在点
4、0 x的某个邻域内有定义,当自变量x在0 x处取得增量x(点xx0仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量y;如果y与x之比当0 x时的极限存在,则称函数)(xfy在点0 x处可导,并称这个极限为函数)(xfy在点0 x处的导数,记为)(0 xf,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载即000)(,)()(limlim)(00000 xxxxxxxxdxxdfdxdyyxxfxxfxyxf记(7)函数)(xfy在点0 x处可导有时也说成)(xfy在点0 x具有导数或导数存在。导数的定义也可取不同的形式,常见
5、的有:hxfhxfxfh)()(lim)(0000(8)000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx(9)在实际中,需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。3. 函数在一点处不可导的定义定义 2 如果式( 7)的极限不存在,就说函数在点处不可导,如果,当0 x时,比值xy时, 就说函数)(xfy在点0 x处的导数为无穷大 (此时函数不可导) 。4.导函数的定义定义 3 如果函数)(xfy在开区间I内的每点处都可导,就称函数)(xfy在开区间I内可导。对任意Ix都对应着)(xfy的一个确定的导数值,这样就构成了一
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