2021高三数学北师大版(文)一轮课后限时集训:27 解三角形的实际应用举例 .doc
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1、解三角形的实际应用举例建议用时:45分钟一、选择题1一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30角前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75角,则河的宽度为()A50(1)mB100(1)mC50 mD100 mA如图所示,在ABC中,BAC30,ACB753045,AB200 m,由正弦定理,得BC100(m),所以河的宽度为BCsin 7510050(1)(m)2已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2Acos 2B2cos 2C,则cos C的最小值为()A.B.C.DC因为cos 2Acos 2B2cos 2C,所以
2、12sin2A12sin2B24sin2C,得a2b22c2,cos C,当且仅当ab时等号成立,故选C.3在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(abc)(abc)3ab,且c4,则ABC面积的最大值为()A8B4C2D.B由已知等式得a2b2c2ab,则cos C.由C(0,),所以sin C.又16c2a2b2ab2ababab,则ab16,所以SABCabsin C164.故Smax4.故选B.4在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B2ab,若ABC的面积为Sc,则ab的最小值为()A8B10C12D14C在ABC中,由已知及正弦定理可得2s
3、in Ccos B2sin Asin B2sin(BC)sin B,即2sin Ccos B2sin Bcos C2sin Ccos Bsin B,所以2sin Bcos Csin B0.因为sin B0,所以cos C,C.由于ABC的面积为Sabsin Cabc,所以cab.由余弦定理可得c2a2b22abcos C,整理可得a2b2a2b2ab3ab,当且仅当ab时,取等号,所以ab12.5在ABC中,sin B,BC边上的高为AD,D为垂足,且BD2CD,则cosBAC()AB.CD.A依题意设CDx,ADy,则BD2x,BC3x.因为sin B,所以AB3y.因为BC边上的高为AD,
4、如图所示,所以AB2AD2BD2y24x29y2,即xy.所以ACy.根据余弦定理得cosBAC.故选A.二、填空题6一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时_海里10如图所示,依题意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,从而CDCA10,在RtABC中,得AB5,于是这艘船的速度是10(海里/时)7在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin Bbcos A若a4,则ABC周长的最大值为_12由正弦定理,可将asin Bbcos A转化为
5、sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中,sin B0,sin Acos A,即tan A.0A,A.由于a4,由余弦定理得a2b2c22bccos A,得16b2c22bcb2c2bc(bc)23bc,又bc,(bc)264,即bc8,abc12.8.如图,在ABC中,D是边AC上的点,且ABAD,2ABBD,BC2BD,则sin C的值为_设ABa,ABAD,2ABBD,BC2BD,ADa,BD,BC.在ABD中,cosADB,sinADB,sinBDC.在BDC中,sin C.三、解答题9.在四边形ABCD中,ADBC,AB,A120,BD3.(1)求AD的长;(2)若BC
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