2021高三数学北师大版(理)一轮教师用书:第11章 第7节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 .doc
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1、第七节离散型随机变量的均值与方差、正态分布最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1,2,r)(1)均值EXa1p1a2p2arpr,均值EX刻画的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度2均值与方差的性质(1)E(aXb)aEXb.(2)D(aXb)a2DX(a,b为
2、常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布EXpDXp(1p)XB(n,p)EXnpDXnp(1p)4正态分布(1)XN(,2),表示X服从参数为和2的正态分布(2)正态分布密度函数的性质:函数图像关于直线x对称;(0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”;p(X)68.3%;p(2X2)95.4%;p(3X3)99.7%.1均值与方差的关系:DXEX2E2X.2超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX.一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(2)若XN(,2),则,2分别表示正态分布的均值和
3、方差()(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知X的分布列为X101Pa设Y2X3,则EY的值为()AB4C1D1A由概率分布列的性质可知:a1,a.EX(1)01.EY32EX3.2若随机变量X满足P(Xc)1,其中c为常数,则D(X)的值为_0P(Xc)1,EXc1c,DX(cc)210.3已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X2c1)P(X2c1)P(Xc3),2c1c332,c.4甲、乙两工人在一天生
4、产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是_乙EX00.410.320.230.11.EY00.310.520.20.9,因为EYEX,所以乙技术好考点1求离散型随机变量的均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值(2)求X取每个值时的概率(3)写出X的分布列(4)由均值的定义求EX.(5)由方差的定义求DX.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费
5、,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望E,方差D.解(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,两人都付0元的概率为p1,两人都付40元的概率为p2,两人都付80元的概率为p3,则两人所付费用相同的概率为pp1p2p3.(2)由题设甲、乙所付费用之和为,可能取值为0,40,80,
6、120,160,则:P(0);P(40);P(80);P(120);P(160).的分布列为04080120160PE0408012016080.D(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意E(aXb)aEXb,D(aXb)a2DX的应用教师备选例题1(2019杭州模拟)已知0a,随机变量的分布列如下:101Paa当a增大时,()AE增大,D增大BE减小,D增大CE增大,D减小DE减小,D减小B由题意得,Ea,D2a22a22a,又0a
7、,当a增大时,E减小,D增大2设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分(1)当a3,b2,c1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数若E,D,求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6,故P(2),P(3),P(4),P(5),P(6).所以的分布列为23456P(2)由题意知的分布列为123P所以E,D222,化简得解得a3c,b2c,故abc321.1.(2018全国卷)某群体
8、中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX2.4,P(X4)P(X6),则p()A0.7B0.6C0.4D0.3B由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以D(X)10p(1p)2.4,所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6),得Cp4(1p)6Cp6(1p)4,即(1p)20.5,所以p0.6.2大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡
9、的可种植4株的实验田地,每株放入三粒“超级豆”种子,且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没有影响)(1)求恰好有3株成活的概率;(2)记成活的豆苗株数为,收成为(kg),求随机变量分布列及的数学期望E.解(1)设每株豆子成活的概率为P0,则P013.所以4株中恰好有3株成活的概率PC31.(2)记成活的豆苗株数为,收成为2.205,则的可能取值为0,1,2,3,4,且B,所以的分布列如下表:01234PC4C13C22C31C4E43.5,EE(2.205)2.205E7.717
10、 5(kg)考点2均值与方差在决策中的应用利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;项目二:通信设备据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.针对以上两
11、个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300150PEX1300(150)200.若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X25003000PEX2500(300)0200.DX1(300200)2(150200)235 000,DX2(500200)2(300200)2(0200)2140 000.EX1EX2,DX1DX2,这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥综上所述,建议该投资公司选择项目一投资随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和
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