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-!【二次函数的定义】(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)1、下列函数中,是二次函数的是 . y=x24x+1; y=2x2; y=2x2+4x; y=3x; y=2x1; y=mx2+nx+p; y =错误!未定义书签。; y=5x。2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t4秒时,该物体所经过的路程为 。3、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为 。4、若函数y=(m2)xm 2+5x+1是关于的二次函数,则m的值为 。6、已知函数y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函数,求m的值。【二次函数的对称轴、顶点、最值】(技法:如果解析式为顶点式y=a(xh)2+k,则最值为k;如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为1抛物线y=2x2+4x+m2m经过坐标原点,则m的值为 。2抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b ,c .3抛物线yx23x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4若抛物线yax26x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. B. C. D.5若直线yaxb不经过二、四象限,则抛物线yax2bxc( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴6已知抛物线yx2(m1)x的顶点的横坐标是2,则m的值是_ .7抛物线y=x2+2x3的对称轴是 。8若二次函数y=3x2+mx3的对称轴是直线x1,则m 。9当n_,m_时,函数y(mn)xn(mn)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口_.10已知二次函数y=x22ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0.11已知二次函数y=mx2+(m1)x+m1有最小值为0,则m _ 。12已知二次函数y=x24x+m3的最小值为3,则m 。【函数y=ax2+bx+c的图象和性质】1抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。2抛物线y=2x212x+25的开口方向是 ,顶点坐标是 。3试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。4通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:(1)y=x22x+1 ; (2)y=3x2+8x2; (3)y=x2+x45把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x23x+5,试求b、c的值。6把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。7某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?【函数y=a(xh)2的图象与性质】1填表:抛物线开口方向对称轴顶点坐标2已知函数y=2x2,y=2(x4)2,和y=2(x+1)2。(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。(2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x4)2和y=2(x+1)2?3试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。(1)右移2个单位;(2)左移个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。4试说明函数y=(x3)2 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。5二次函数y=a(xh)2的图象如图:已知a=,OAOC,试求该抛物线的解析式。【二次函数的增减性】1.二次函数y=3x26x+5,当x1时,y随x的增大而 ;当x 2时,y随x的增大而增大;当x 2时,y随x的增大而减少;则x1时,y的值为 。3.已知二次函数y=x2(m+1)x+1,当x1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 .4.已知二次函数y=x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3x1x20,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb -2aCa-b+c 0Dc0; a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ;其中正确的为( ) ABCD4.当bbc,且abc0,则它的图象可能是图所示的( ) 6二次函数yax2bxc的图象如图5所示,那么abc,b24ac, 2ab,abc 四个代数式中,值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.在同一坐标系中,函数y= ax2+c与y= (a 0时,y随x的增大而增大,则二次函数ykx2+2kx的图象大致为图中的( )A B C D 10.已知抛物线yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x1和x3时,函数值相同;4ab0;当y2时,x的值只能取0;其中正确的个数是( )A1 B2 C3D411.已知二次函数yax2bxc经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线yaxbc不经过( )A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)】1. 如果二次函数yx24xc图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c (写一个即可)2. 二次函数yx2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y3x22x1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示,二次函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 已知抛物线y5x2(m1)xm与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于为 ,则m的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 若二次函数y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是 7. 已知抛物线yx2-2x-8,(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求ABP的面积。【函数解析式的求法】一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解; 1已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(1,1)三点,求该二次函数的解析式。 2已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC5,求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(xh)2+k求解。 3已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,6),且经过点(2,8),求该二次函数的解析式。 4已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,3),且经过点P(2,0)点,求二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(xx1)(xx2)。 5二次函数的图象经过A(1,0),B(3,0),函数有最小值8,求该二次函数的解析式。6已知x1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,3),则该二次函数的解析式 。7抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(2,0)、(3,0),则该二次函数的解析式 。8若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式 。9抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(1,0)、(3,0),则b ,c .10若抛物线与x 轴交于(2,0)、(3,0),与y轴交于(0,4),则该二次函数的解析式 。11根据下列条件求关于x的二次函数的解析式(1) 当x=3时,y最小值=1,且图象过(0,7)(2) 图象过点(0,2)(1,2)且对称轴为直线x=(3) 图象经过(0,1)(1,0)(3,0)(4) 当x=1时,y=0; x=0时,y= 2,x=2 时,y=3(5) 抛物线顶点坐标为(1,2)且通过点(1,10)11当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= 3,x2=1时,且与y轴交点为(0,2),求这个二次函数的解析式12已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式。13知二次函数图象顶点坐标(3,)且图象过点(2,),求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。14已知二次函数图象与x轴交点(2,0), (1,0)与y轴交点是(0,1)求解析式及顶点坐标。15若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x= 对称,那么图象还必定经过哪一点?16y= x2+2(k1)x+2kk2,它的图象经过原点,求解析式 与x轴交点O、A及顶点C组成的OAC面积。17抛物线y= (k22)x2+m4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= x+2上,求函数解析式。【二次函数应用】经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.(1)试求y与x的之间的关系式.(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入总成本)
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【二次函数的定义】
(考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式)
1、下列函数中,是二次函数的是 .
①y=x2-4x+1; ②y=2x2; ③y=2x2+4x; ④y=-3x;
⑤y=-2x-1; ⑥y=mx2+nx+p; ⑦y =错误!未定义书签。; ⑧y=-5x。
2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4秒时,该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为 。
4、若函数y=(m-2)xm -2+5x+1是关于的二次函数,则m的值为 。
6、已知函数y=(m-1)xm2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。
【二次函数的对称轴、顶点、最值】
(技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k;
如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为
1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为 。
2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b= ,c= .
3.抛物线y=x2+3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )
A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴
C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴
6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-的顶点的横坐标是2,则m的值是_ .
7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是 。
8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m= 。
9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)xn+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.
10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0.
11.已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m= ______ 。
12.已知二次函数y=x2-4x+m-3的最小值为3,则m= 。
【函数y=ax2+bx+c的图象和性质】
1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2.抛物线y=2x2-12x+25的开口方向是 ,顶点坐标是 。
3.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=-2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。
4.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=x2-2x+1 ; (2)y=-3x2+8x-2; (3)y=-x2+x-4
5.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,试求b、c的值。
6.把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
7.某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元,可卖出400台,以每100元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?
【函数y=a(x-h)2的图象与性质】
1.填表:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
2.已知函数y=2x2,y=2(x-4)2,和y=2(x+1)2。
(1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
(2)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2和y=2(x+1)2?
3.试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
(1)右移2个单位;(2)左移个单位;(3)先左移1个单位,再右移4个单位。
4.试说明函数y=(x-3)2 的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)。
5.二次函数y=a(x-h)2的图象如图:已知a=,OA=OC,试求该抛物线的解析式。
【二次函数的增减性】
1.二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而 ;当x<1时,y随x的增大而 ;当x=1时,函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2-mx+5,当x> -2时,y随x的增大而增大;当x< -2时,y随x的增大而减少;则x=1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=-x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且30,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是( )
A.a+b+c> 0 B.b> -2a
C.a-b+c> 0 D.c< 0
3.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下结论:
①c>0; ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ;其中正确的为( )
A.①② B.①④ C.①②③ D.①③⑤
4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
5.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么abc,b2-4ac, 2a+b,a+b+c
四个代数式中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.在同一坐标系中,函数y= ax2+c与y= (a 0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=kx2+2kx的图象大致为图中的( )
A B C D
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:
①a,b同号; ②当x=1和x=3时,函数值相同; ③4a+b=0; ④当y=-2时,x的值只能取0; 其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线y=ax+bc不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【二次函数与x轴、y轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)】
1. 如果二次函数y=x2+4x+c图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c= (写一个即可)
2. 二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
3. 抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
4. 如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为( )
A.6 B.4 C.3 D.1
5. 已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴同侧,它们的距离平方等于为 ,则m的值为( )
A.-2 B.12 C.24 D.48
6. 若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是
7. 已知抛物线y=x2-2x-8,
(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。
【函数解析式的求法】
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后解三元方程组求解;
1.已知二次函数的图象经过A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)三点,求该二次函数的解析式。
2.已知抛物线过A(1,0)和B(4,0)两点,交y轴于C点且BC=5,求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解。
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。
4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3),且经过点P(2,0)点,求二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
5.二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0),函数有最小值-8,求该二次函数的解析式。
6.已知x=1时,函数有最大值5,且图形经过点(0,-3),则该二次函数的解析式 。
7.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(2,0)、(-3,0),则该二次函数的解析式 。
8.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,3),且与y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式 。
9.抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于(-1,0)、(3,0),则b= ,c= .
10.若抛物线与x 轴交于(2,0)、(3,0),与y轴交于(0,-4),则该二次函数的解析式 。
11.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
(1) 当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7)
(2) 图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=
(3) 图象经过(0,1)(1,0)(3,0)
(4) 当x=1时,y=0; x=0时,y= -2,x=2 时,y=3
(5) 抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)
11.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= -3,x2=1时,且与y轴交点为(0,-2),求这个二次函数的解析式
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到x 轴的距离为3,求函数的解析式。
13.知二次函数图象顶点坐标(-3,)且图象过点(2,),求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。
14.已知二次函数图象与x轴交点(2,0), (-1,0)与y轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。
15若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x= 对称,那么图象还必定经过哪一点?
16.y= -x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。
17.抛物线y= (k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - x+2上,求函数解析式。
【二次函数应用】
经济策略性
1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件。假定每月销售件数y(件)是价格X的一次函数.
(1)试求y与x的之间的关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
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