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// 高考总复习：复数 【考纲要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、复数的有关概念 1.虚数单位: （1）它的平方等于，即； （2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）的周期性：，，，（）. 2. 概念 形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。 说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系： 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数（）， 当且仅当时，复数是实数； 当且仅当时，复数叫做虚数； 当且仅当且时，复数叫做纯虚数； 当且仅当时，复数就是实数0. 所以复数的分类如下: 　　（） 5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果，那么. 特别地: . 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。　 6.共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数和（）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算 ； ； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。 考点三：复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 2.复数的几何表示 （1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； （2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. 要点诠释: （1）向量与点以及复数有一一对应； （2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。 3.复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。 4.复数减法的几何意义： 两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。 要点诠释: 1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行； 2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题； 3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用； 4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。 【典型例题】 类型一：复数的有关概念 【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足： (1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。 【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。 【答案】 (1)当即时，复数是纯虚数； (2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】 复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如： ()；是纯虚数（）； 举一反三： 【变式1】复数为纯虚数，则实数a为(　　)． A．2 B．－2 C．－ D. 【答案】A 【解析】， 由纯虚数的概念知：＝0，∴a＝2. 【变式2】求当实数取何值时，复数分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。 【解析】 （1）当即或时，复数为实数； （2）当即且时，复数为虚数； （3）当即时，复数为纯虚数. 【变式2】已知复数满足且,则复数（ ） A.必为纯虚数　　　 B.是虚数但不一定是纯虚数 C.必为实数　　　 　 D.可能是实数也可能是虚数 【答案】 [法1] 设（），有,. 则，故应选C。 [法2] ∵,∴. [法3] ∵，∴ . 类型二：复数相等 【例2】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同时满足M∩NM，M∩N≠Φ，求整数a,b 【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。 【解答】 …………………………① 或…………………………………………② 或…………………………③ 由①得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。∴a=-3，b=2 由②得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，∴a=3,b=-2; 由③得,此方程组无整数解。 综合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2。 【总结升华】 1、a+bi=c+di. 2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。 注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,b∈R)。 举一反三： 【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2. 【解析】设z2=a+2i(a∈R)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i. 类型三：复数的代数形式的四则运算 【例3】计算： 【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。 【解析】 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。 举一反三： 【变式1】 【答案】：原式= 　　　 【变式2】复数( ) . B. C. D. 【解析】选C 解法一： 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案. 【例4】已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，且|z2|＝求z2. 【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解. z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R， ∵|z2|＝ ∴|z2(5＋5i)|＝50， ∴z2(5＋5i)＝50， 【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式. (2)记住以下结论，可提高运算速度： ①(1i)2=2i； ⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N). 2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。 举一反三： 【变式1】设，（为虚数单位），则的值为 【解析】因为， 所以 【答案】8 【变式2】设i为虚数单位，则复数 A. B. C. D. 【解析】选D. . 类型三：复数的几何意义 【例5】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围. 【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。 【解析】∵ ∴ ，解得. ∴的取值范围为. 【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。 举一反三： 【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】：∵所对应的点在第二象限 ∴且，且 ∴，故选D 【变式2】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)． A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 【答案】C 【解析】复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为 B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 类型四：化复数问题为实数问题 【例6】已知互为共轭复数，且,求. 【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。 【解析】设（），则, 代入原等式得： ∴，解得：或或或， ∴ 或 或 或。 【总结升华】 复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。 举一反三： 【变式1】已知复数，求实数使 【答案】：∵, ∴ ∵, ∴，解得或 【变式2】令,求使方程成立的复数. 【答案】：令()，则原方程化为: 即， ∴ ，解之有或(舍去） ∴当时，复数. 【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数. 【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。 【解析】设为方程的一个实根，则有 即 ∴，解得. 【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。 举一反三： 【变式】已知方程有实根，求实数. 【答案】：设实根为, 则 ,即 ∴ ，解得 ∴ 为所求. 【变式2】已知，方程的两根为、，求. 【答案】：∵，∴ 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。 (1)当，即时，方程的根、为实数根， 由韦达定理 又∵ ∴ ①当时，, ②当时，. (2)当,即时，方程的根、为虚根。