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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载一、坐标系1、数轴它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定2、平面直角坐标系 在平面上 ,当取定两条相互垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了 平面直角坐标系;它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y)确定;3、空间直角坐标系 在空间中,挑选两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系;它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定;二、平面直角坐标系的伸缩变换定义:设 P(x,y)是平面直角坐标系中
2、的任意一点,在变换:xx ,0 的作用下,yy 0 .点 P( x,y)对应到点P (x ,y ),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换;三例题讲解例 1 在平面直角坐标系中,求以下方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形;(1) 2x+3y=0 ;(2)x2+y2=1 三、极坐标系1、极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和运算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个 极坐标系;(其中 O称为极点,射线 OX称为极轴;)2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点 M ,用 表示线段 OM 的长度,用 表示从
3、 OX 到OM 的角度,叫做点 M 的极径,叫做点 M 的极角,有序数对(, )就叫做 M 的极坐标;特殊强调:由极径的意义可知0; 当极角 的取值范畴是 0,2 时,平面上的点 除去极点 就与极坐标( , )建立一一对应的关系 .们商定 ,极点的极坐标是极径 =0, 极角是任意角 . 3、负极径的规定在极坐标系中,极径 答应取负值,极角 也可以去任意的正角或负角当 0 时,点 M ( , )位于极角终边的反向延长线上,且 OM=;M ( , )也可以表示为 , 2 k 或 , 2 k 1 k z 4、数学应用例 1 写出下图中各点的极坐标A(4,0) B(2 )C()D()E()F()G()
4、规定:极点的极坐标是=0,可以取任意角;变式训练名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载在极坐标系里描出以下各点A(3,0) B (6,2)C(3,2)D(5,4)E(3,5)F(4,)G(6,5)363例 2 在极坐标系中,(1)已知两点 P(5,5 4),Q ,14,求线段 PQ的长度;M 的位置;(2)已知 M的极坐标为(, )且=3,R,说明满意上述条件的点变式训练1、如ABC 的的三个顶点为A 5,5,B8 ,5,C3,7,判定三角形的外形.2662、如 A 、 B 两点的极坐标为1,1,2,2
5、求 AB 的长以及AOB 的面积;(O 为极点)例 3 已知 Q( , ),分别按以下条件求出点 P 的极坐标;( 1)( 2)( 3)P 是点 Q 关于极点 O 的对称点;P 是点 Q 关于直线2的对称点;P 是点 Q 关于极轴的对称点;变式训练名师归纳总结 1.在极坐标系中 ,与点8 ,6关于极点对称的点的一个坐标是2 , C 的坐标;第 2 页,共 7 页A8,6,B8,5C8,5,D8,65 4,求第三个顶点,662 在极坐标系中,假如等边ABC 的两个顶点是A2,4,B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载四、极坐标与直角坐标的
6、互化直角坐标系的原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取和相同的长度单位;平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为x,y,就由三角函数的定义可以得到如下两组公式:xcos2x2yy20 ysint a nxx说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2 通常情形下,将点的直角坐标化为极坐标时,取0, 0 2;3 化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合 ; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ; 3. 两种坐标系的单位长度相同 . 三、数学应用例 1(1)把点 M 的极坐标 8,2化成直角坐标;(2)把点 P的直角坐标6,2化成极坐标;3变式训练在
7、极坐标系中 , 已知 A ,2 , B 2 , , 求 A,B 两点的距离6 6例 2 如以极点为原点 , 极轴为 x 轴正半轴 , 建立直角坐标系 . 1 已知 A的极坐标4,5,求它的直角坐标, 15 求它们的极坐标. 0,0 2 32 已知点 B 和点 C的直角坐标为,22 和0,变式训练名师归纳总结 把以下个点的直角坐标化为极坐标限定0,0 2A 1,1 ,B0,2,C3 4, ,D3 ,4第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 在极坐标系中 , 已知两点A6,6,B6 ,精品资料欢迎下载2. 求 A,B 中点的极坐标
8、. 3变式训练在极坐标系中 , 已知三点M2,3,N,20 ,P23,6. 判定M,N,P三点是否在一条直线上. 五、常用曲线的极坐标方程1、如直线 l 经过M0,0且极轴到此直线的角为,求直线 l 的极坐标方程;变式训练:直线l 经过M3,2且该直线到极轴所成角为4,求此直线 l 的极坐标方程;2、如圆心的坐标为M0,0,圆的半径为r,求圆的方程;运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程;3、 在圆心的极坐标为A 4 ,0 ,半径为 4 的圆中,求过极点O 的弦的中点的轨迹;三、巩固与练习名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - -
9、 - - - 在极坐标系中,已知圆C的圆心C3 ,6精品资料r3欢迎下载,半径,(1)求圆 C的极坐标方程;(2)如 Q 点在圆 C上运动, P 在 OQ 的延长线上,且OQ: OP3:2,求动点 P 的轨迹方程;1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为 P ,求到定点到定点和定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹的极坐标方程;分析:建系 设点 列出等式用极坐标、表示上述等式,并化简得极坐标方程说明:为便于表示距离,取 F 为极点,垂直于定直线 l 的方向为极轴的正方向; e 表示离心率,P 表示焦点到准线距离;2、例题讲解例 12003 年 10 月 1517 日,我国自主研制的神舟五号载人航天
10、飞船胜利发射并按预定方案安全、准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆,椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的点)距离地面分别为200km 和 350km,然后进入距地面约343km 的圆形轨道;如地球半径取 6378km ,试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程;例 2求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数;变式训练名师归纳总结 设 P、Q 是双曲线x2|y2ab上的两点,如OPOQ;第 5 页,共 7 页21 0a2b求证:|12 |12为定值;OP|OQ- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
11、精品资料 欢迎下载三、巩固与练习已知抛物线y24x的焦点为 F ;(1)以 F 为极点, x 轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程;(2)过取 F 作直线 l 交抛物线于A、B 两点,如 |AB|16,运用抛物线的极坐标方程,求直线l的倾斜角;基础训练1直线cosm kkz的斜率是D、cos422极坐标方程216 sin表示的曲线是3曲线sin2和4sin00,2的交点坐标4在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线方程为()A、sin2B、cos2C、cos45椭圆59的长轴长4cos二、讲解新课:例 1求曲线cos10关于直线4对称的曲线方程;例 2求以下两曲线的交点坐标;1cos和cos2 11A,交直线于点B ,当射线以极点为中cos例 3已知圆2 ,直线4,过极点作射线交圆于点名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载OAOB;( O 为原点)心转动时,求线段AB 的中点 M 的轨迹方程;上两点,如例 4已知 A、B 为椭圆x2y21 ab0 a2b2名师归纳总结 (1)求证|12 |12 |为定值;第 7 页,共 7 页OAOB(2)求AOB 面积的最值;- - - - - - -
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