2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义:第二讲 参数方程四 .docx
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1、2.4一些常见曲线的参数方程1.一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点M的轨迹称为摆线.2.半径为a的圆在x轴上滚动,开始时定点M在原点O处,取圆滚动时转过的角度t(以弧度为单位)为参数,摆线的参数方程为.3.把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上,把绳拉紧逐渐展开,绳的外端点随之移动,且绳的拉直部分始终和圆相切,绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线.固定的圆称为渐开线的基圆.4.基圆的半径为a,以圆心为原点O,绳拉直时和圆的切点为A,记和x轴正向所成的角为t(以弧度为单位),则圆的渐开线的参数方程为.【思维导图】【知能要点】1.摆线,摆线的参数方程.2.圆的渐开线,渐开线的
2、参数方程.知识点1摆线在分析摆线上动点满足的几何条件时,关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示,假设半径为r的圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的切点O,圆保持与定直线相切向右滚动,点M就绕圆心B作圆周运动.如果点M绕圆心B转过t弧度后,圆与直线相切于A,那么线段OA的长等于的弧长,即OArt;点M绕圆心B运动一周回到切点的位置E,那么OE的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到,在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中,圆周上定点M的位置可以有圆心角t唯一确定,因此以t为参数是非常自然的.【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆
3、线的参数方程.解:根据圆的摆线的参数方程的表达式 (t为参数)可知,只需求出其中的a,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出a值,再代入参数方程的表达式.令a(1cos t)0可得cos t1,所以t2k (kZ)代入可得xa(2ksin 2k)1.所以a.又根据实际情况可知a是圆的半径,故a0.所以,应有k0且kZ,即kN*.所以,所求摆线的参数方程是 (t为参数其中kN*).【反思感悟】 本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成t的值,代入参数方程中求出x和y的值,再计算a的值;或者在求出cos t1时,直接得出t0,从而导致答案不全面.1.
4、有一个半径为2的轮子沿着直线轨道滚动,在轮子一面上有一点M与轮子中心的距离为1,求点M的轨迹方程.解:设轮子的圆心为B,BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点,直线轨道为x轴的正方向,建立直角坐标系.设圆滚动使点M绕圆心B转过角后点M的坐标为(x,y),则xODOADAOAMC2sin ,yDMACABCB2cos ,所以,点M的轨迹方程为知识点2圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质,体会渐开线上动点所满足的几何条件,建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM的长就是的长”用坐标表示出来.渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】 给出某渐开线的参数方程 (t为参数),根据参数方程
5、可以看出该渐开线的基圆半径是_,且当参数t取时对应的曲线上的点的坐标是_.答案:3解析:根据一般情况下基圆半径为a的渐开线的参数方程 (t为参数)进行对照可知,这里的a3,即基圆半径是3.然后把t分别代入x和y,可得即得对应的点的坐标.【反思感悟】 对渐开线的参数方程要理解其中字母的含义,a是基圆的半径,t是参数.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解:直接利用圆的渐开线的参数方程公式,方程为: (t是参数).【例3】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是和,求A,B两点的距离.解:根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是 (t为参数)
6、,分别把t和t代入,可得A,B两点的坐标分别为A,B.那么,根据两点之间的距离公式可得A,B两点的距离为|AB| .即点A,B之间的距离为 .【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点,可以求出点的坐标,转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是_,当参数t时对应的曲线上的点的坐标为_.答案:2解析:圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当t时对应的坐标只需把t代入曲线的参数方程,x,y,由此可得对应的坐标为.课堂小结1.对圆的渐开线和摆线,要理解它们产生的过程,理解参数方程中的字母的意义.2.对
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