2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义:第二讲 参数方.docx
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1、2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是_(0t2)t的意义是参数t是椭圆上一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角).(2)中心不在原点,而在点(x0,y0)处椭圆的参数方程为0t2 .2.抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程为_t(,),参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线斜率的倒数.【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.抛物线的参数方程.知识点1椭圆的参数方程1.和圆的参数方程中的参数是半径OM的旋转角不同,椭圆参数方程中
2、的参数是椭圆上点M的离心角.2.椭圆1 (ab0)的参数方程为(02).【例1】 已知A、B分别是椭圆1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求ABC的重心G的轨迹的普通方程.解:由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为(6cos ,3sin ),点G的坐标为(x,y),则由题意可知点A(6,0),B(0,3).由重心坐标公式可知由此消去得到(y1)21即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单,运算更简便.1.设F1,F2分别为椭圆C:1 (ab0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1,F2距离之和等于4,写出椭圆C的
3、方程和焦点坐标;(2)设P是(1)中椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程.解:(1)由椭圆上点A到F1,F2的距离之和是4,得2a4,即a2.又点A在椭圆上,因此1,得b23,于是c2a2b21,所以椭圆C的方程为1,焦点坐标为F1(1,0),F2(1,0).(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ,sin ),线段F1P的中点坐标为(x,y),则x,y,所以xcos ,sin .消去,得1,这就是线段F1P的中点的轨迹方程.知识点2抛物线的参数方程抛物线的参数方程 (t为参数),由于,因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.【例2】 设飞机以匀速v1
4、50 m/s做水平飞行,若在飞行高度h588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度,重力加速度g9.8m/s2).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹参数方程;(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标(结果保留整数).解:(1)如图所示,A为投弹点,坐标为(0,588),B为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t0.设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t,炸弹初速度v0150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向的路程,得 (g9.8 m/s2),即这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y0,即5884.9t2
5、0,解得t02(s).由此得x015023001 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意,分析物理学中运动过程,选择适当的坐标系及变量,将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.2.若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线,测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上,水平距离为6 000 m,炮弹运行的最大高度为1 200 m,求炮弹的发射角和发射初速度v0(重力加速度g9.8 m/s2).解:在以A为原点,直线AB为x轴的直角坐标系中,炮弹方程是(t为参数),它经过最高点(3 000,1 200)和点B(6 000,0)的时
6、间分别为t0和2t0,代入参数方程得消去t0,得解得:38.7,v07(m/s).知识点3利用参数方程求圆锥曲线相交弦问题利用直线或圆锥曲线方程中参数的意义,求解有关相交弦问题更简洁,易于计算.【例3】 已知直线l:(t为参数)与椭圆1交于A,B两点,求|AB|及P(1,2)到A,B两点的距离之积与之和.将代入1中,得tA1,tB0,|AB|tAtB|5,|PA|tA|5,|PB|tB|0.|PA|PB|0,|PA|PB|055.【反思感悟】(1)注意利用直线参数方程的一般形式(t为参数)求弦长时,弦长l|t2t1|.(2)在直线参数方程中,如果直线上的点M1,M2所对应的参数值分别为t1和t
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