概率论与数理统计复旦大学出版社第二章课后标准答案.doc

,.概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布律.【解】的可能取值为，其取不同值的概率为故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；(3).【解】的可能取值为，其取不同值的概率为故的分布律为012（2） 当时，当时， 当时，当时，故的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设表示3次射击中击中目标的次数.则的可能取值为0，1，2，3，显然其取不同值的概率为故的分布律为01230.0080.0960.3840.512分布函数3次射击中至少击中2次的概率为4.（1） 设随机变量X的分布律为，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为， k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】设、分别表示甲、乙投中次数，则,(1) + (2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设为某一时刻需立即降落的飞机数，则，设机场需配备条跑道，根据题意有即 利用泊松定理近似计算查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】设表示指示灯发出信号（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则 。所求概率为(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则，所求概率为10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1） 从而 (2) 11.设 PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，试求PY1.【解】因为，所以 .即 ，可得 从而 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松定理近似计算,13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出的分布律，并计算取偶数的概率。【解】的可能取值为 ，的分布律为取偶数的概率为14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为，则，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松定理近似计算，有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000） 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求：（1）A值；（2）P0X1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 当x0时，当x0时， 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】（1）电子管寿命小于150小时的概率为 150小时内没有电子管损坏的概率为(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率为 (3) 当x100时F（x）=0当x100时 故 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a，密度函数为故当xa时，F（x）=1即分布函数18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则若走第二条路，XN（50，42），则故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则若XN（50，42），则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) 由 得 即 ，故.22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.设随机变量X的概率密度为f（x）=求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x0时F（x）=0当0x1时 当1x0;(2) 试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1） 由 知 故 即密度函数为 当x0时 当x0时 故其分布函数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时F（x）=0当0x1时 当1x0时， 故 (2)由 可知当y1时，当y1时， 故 (3) 由Y=X可知 当y0时当y0时 故31.设随机变量XU（0,1），试求：（1） 的分布函数及密度函数；（2） 的分布函数及密度函数.【解】的概率密度为 （1） 由 ,得 当时 ，当1ye时 ，当ye时，即分布函数故Y的密度函数为（2） 由P（0X0时， 即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为试求Y=sinX的密度函数.【解】因为,由 Y=sinX 可知 ，当y0时，当0y1时， 当y1时，故Y的密度函数为33.设随机变量X的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.【解】由知填1。由右连续性知，故为0。从而亦为0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。则 可能的取值为1,2,3，分布律为 故抛掷次数服从参数为的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)即 解得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知F（x）=则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.（A） 连续型； （B）离散型；（C） 非连续亦非离散型.【解】因为F（x）在（-,+）上单调不减右连续，且,所以F（x）是一个分布函数。但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函数。在上.故f(x)不是密度函数。在上，故f(x)不是密度函数。在上，当时，sinx0）=1，故01-e-2X1，即P（0Y1）=1当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1当0y1时，即Y的密度函数为即YU（0，1）41.设随机变量X的密度函数为f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范围. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0k1,P(Xk)= 当k=1时P（Xk）=若1k3时P（Xk）=若3k6，则P（X6,则P（Xk）=1故只有当1k3时满足P（Xk）=.42.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40.40.243.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设,则由 P（X1）= 知 P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】X的密度函数为+方程y2+Xy+1=0有实根的概率为45.若随机变量，且P2X4=0.3，则PX0= . 【解】由 得 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1） 全部能出厂的概率；（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B=AB，且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6（n，0.94）,故 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则，故 查表知 ,即=12从而 故 48.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252）.试求：（1） 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率【解】设A1=电压不超过200V，A2=电压在200240V，A3=电压超过240V，B=元件损坏。由XN（220，252）知 由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】的概率密度为 因为P（1X2）=1, 故P（e2Ye4）=1当ye2时， FY（y）=P(Yy)=0. 当e2y1时， 即 分布函数关于求导，得概率密度 51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,求Y=1-的密度函数fY(y). 【解】对任意实数，分布函数 分布函数关于求导，得概率密度 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为t的泊松分布.（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布（分布函数）；（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）【解】（1） 当tt与N(t)=0等价，有即 即间隔时间T服从参数为的指数分布。（2） 53.设随机变量的绝对值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1X1出现的条件下，在内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求的分布函数F（x）=PXx. (1997研考)【解】显然，当时，分布函数；当时，由题知当时， （区间的长度为）此时分布函数 故的分布函数54. 设随机变量服从正态分布,服从正态分布，且，试比较1与2的大小. (2006研考)解： 依题意 ，则，.因为，即，所以有 ，即.55设与为两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度和是连续函数，则必为概率密度的是（ ）。 解 由题意知 ， ，对选择题项有故选.