浙江“22”高等数学B试卷及内容标准答案.doc

,. 2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷 一、填空题：（ 8*3） 1．若 , 则自然数 n = . 2． . 3 . . 4. 已知 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解，则该方程的通解是 5． 已知 A＝ ， A* 为 A 的伴随阵，则 = 6．已知三元非齐次线性方程组 AⅩ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且 α1＋α2＝，α2＋α3＝，α3＋α1＝该非齐次线性方程组的通解 7．设方程 中的 和 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的 点数，则此方程有实根的概率为 . 8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 得分 阅卷人 二．选择题. （8*3） 1．设函数 , 则正确的结论是 （A） 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点； （B） 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点； （C） 是 的极值点，且 是曲线 的拐点； （D） 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点. 2. 设二元函数 在点 处可微，，又知 ，则 =（ ）. （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) . （A） 若 发散 ，则 必发散 ； B） 若 发散 ，则 必发散 ； C） 若 发散 ，则 必发散 (D） 若 , 则 必发散. 4．下列等式成立的是 （ ）. （A） 若 和 均发散，则 必发散 ； （B） 若 和 均发散，则 必发散 ； （C） 若 和 均发散，则 必发散 ； （D） 若 收敛， 发散，则 必发散 . 5．设二次型 为正定二次型 ，则 的取值范围为（ ）. （A） （B） （C） （D） 6．设随机变量 ～N（，52），～N（，42），概率值 , ，则下式（ ）是正确的 . （A）对任意 均有 （B）对任意 均有 （C）对任意 均有 （D）只对 的个别值有 7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ 为标准正态分布函数） （A） （B）1－ （C） （D） 8．已知随机向量（，）的联合密度函数为 则概率值 P（）＝（ ） （A） （B） （C） （D） 得分 阅卷人 三．计算题：（9*7） 1． 计算极限 . 2. 与 在 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 与 值. 3. 计算二重积分 ，其中 为直线 ， 和 所围成的平面区域 . 4．设函数 在 内有且仅有1个零点，求正数 的取值范围 . 5．设函数 在 上可导 ，且满足 ， 求 的表达式 . 6．已知矩阵 ＝，＝ ，且矩阵 满足 ，其中 为单位阵 ，求 7．已知矩阵＝ 相似于对角阵 ，试求常数 ，并求可逆阵 ，使 . 8．设随机变量 的密度函数为 ， 求（1）常数 ； （2） 的期望 和方差 ； （3） 的概率密度函数； （4） 概率值 ，其中 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数. 9．已知随机向量 （，） 的联合分布律为 －1 1 2 －1 0.25 0.1 0.3 2 0.15 0.15 0.05 求（1） 的分布律； （2）在 ＝－1 条件下 的分布律 （3）期望值 . 得分 阅卷人 四．应用题： （3*8） 1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 （万元）时，销售量为 （吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？ 2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 2．设 ，，， ； 问： （1）在什么条件下， 可由 ，， 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下， 可由 ，， 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 . （3）在什么条件下 ， 不能由 ，， 线性表示 ？ 3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ～ ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ? 得分 阅卷人 五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数 绝对收敛 ，则级数 是收敛级数 ； （2） 若级数 条件收敛 ， 则级数 是发散级数 . 2． 设向量 ， ，…… ， 是线性方程组 的一个基础解系 ，向量 不是 的解向量 证明向量组 ， ， ，…… ， 线性无关 . 2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷 得分 阅卷人 一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 的渐近线有 2．设 ，则 的第一类间断点是 . 3 . 设 ， 则 . 4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。 6. 随机变量 X ~ N（-2 ，1） ， Y ~ N（2 ，2），且 X 和 Y 相互独立 ，则 X － 2Y + 7 ~ . 7. 若齐次线性方程组 仅有零解,则应满足的条件是 8. 设 , A=, n为正整数 , E为单位矩阵 , 则 = 得分 阅卷人 二．选择题. （ 8*3，共24分） 1．下列积分中，收敛的广义积分是 ( ). （A （B） （C） （D） 2. 设函数 连续， ，则存在 ，使得（ ）. （A） 在 内单调递增 （B） 在 内单调递减 （C）对任意 ，有 ； （D）对任意 ，有 。 3．设 ，则 ( ) . （A） 若 ，则级数 必收敛 ； （B） 若 ，则级数 必发散 ； （C） 若 收敛 ，则数列 必定递减 ； （D） 若级数 发散 , 则 必定有 . 4．已知二元函数 在点 某邻域内连续 ， 且 ， 则（ ）. （A） 点 不是二元函数 的极值点 ； （B） 点 是二元函数 的极大值点 ； （C） 点 是二元函数 的极小值点 ； （D） 无法判断点 是否是二元函数 的极值点 . 5. 若随机事件AB ，AC ，p（A）= 0.8 , p () = 0.4 , 则p (A－BC) = （A） 0.2 （B） 0.4 （C） 0.5 （D） 0.7 6． 设随机变量X与Y相互独立，且 X 0 1 Y 0 1 , P p , 则下列各式中成立的是（ ）。 （A） X = Y （B） p (X = Y) = 0.5 （C） p (X = Y) = 1 （D） p (X = Y) = 7． 设两个随机变量X与Y同分布,概率密度函数为 , 若E [ c (X+2Y) ] = , 则c = ( ) （A） 2 （B） （C） （D） 8. 设 为 3 阶矩阵, = 2 , 其伴随矩阵为 , 则 = ( ) （A）2 （B）4 （C16 （D） 32 得分 阅卷人 三．计算题：（ 9*7，共63分） 1． 已知极限 存在 ，求 . 2． 求二元函数 （1）在闭区域 内的极值点 ；（3 分）（2）在闭区域 上的最大值 。（4分） 3. 计算定积分 的值 ，其中 。 4．（1）将函数 展开成 的幂级数；并求出收敛域； （2）说明级数 是收敛的，并利用（1）的结果，求出该级数的和. 5．已知函数 在 上连续 ， ， . 在 内 . 若对任意 ， 点 和点 连接而成的直线与曲线 所围的平面图形面积都是 ， 求 的表 6. 设随机变量 X 的概率密度函数为 , 求 (1) A (2) p ( (3) X 的分布函数 F() . 7. 设随机变量 Z ～ U [-2 , 2] , X = , Y = , 求 (1) X 和 Y 的联合概率分布 (2) X = 1 条件下 Y 的条件概率分布 . 8. 已知 3 阶矩阵 A 和 B 满足A + B = AB , 且B = , 求 A . 9. A = 有三个线性无关的特征向量 ,求a b 满足条件 . 得分 阅卷人 四．应用题： （ 3*8 ，共24分） 1． 对 取不同的值，讨论函数 在区间 上是否有最大值和最小值？若存在最大值或最小值，求出相应的最值点和最值。 2. 某厂自动生产线上加工的螺丝帽内径 X (毫米) ～ N (,1) , 内径小于10 或大于12 的为不合格品 , 其余为合格品. 销售合格品盈利, 销售不合格品亏损. 销售利润 L (元) 与内径 X 的关系为 , 当 取何值, 销售一个螺丝帽的平均利润最大? 3. 已知 = (1, 0, 2, 3) , 2 = (1, 1, 3, 5) , 3 = (1, -1, a + 2, 1) , 4 = (1, 2, 4, a + 8) , = (1, 1, b + 3, 5) , 1) a 、b 为何值时 不能由 、2、3、、4 线性表 2）a 、b 为何值时 可由 、2、3、、4 线性表出且表达式唯一, 写出该表达式 . 得分 阅卷人 五．证明题： （ 8+7，共15分） 1．设函数 在 上连续 ， 在 内可导 ， ， .证明：至少存在一点 ， 使得 . 2. 设向量 , ,……, 是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，向量 不是 AX = 0 的解，证明 ,,,…… 线性无关 . 2005年高等数学（B）答案及评分标准： 一. 填空题 ( 每题 3 分 ) 1. 3 2. 3. 0 4. 5． 6． 7． 19/36 8． 20/21 二．选择题 ( 每题 3 分 ) 1． 2. 3. 4. 5 D 6 A 7 D 8 B 三．计算题 ( 每题 7 分 ) 1． 567分 2． ； 或 3． 解法一 画出区域 D 的示意草图 解法二 画出区域 D 的示意草图 4． a) 当 时， b) 当 时， 所以本题答案是： 。 5． 6．APA－APB＋BPB－BPA＝E AP（A－B）－BP（A－B）＝E （AP－BP）（A－B）＝E （A－B）P（A－B）＝E ……………………2分 A－B＝ ……………………3分 （A－B）-1＝ ……………………5分 P＝＝ ……………………7分 7． , ……………………3分 ~ ……………………4分 基础解系 时，－2E－A= 基础解系 ……………………6分 取 P= P P ……………………7分 8. (1). 1= a=3 ……………………1分 (2). E= ……………………2分 E D ……………………3分 (3). 令T= F(y) ＝P (Ty) ＝ P() 当y时， F（y）=0 当y时， F（y）=1 当012) = －(10－)+20[]－5 =25－21－5 ……………………4分 ＝－25＋21＝0 25＝21 ……………………6分 ＝ ln25－ln21－22＋2μ＝0 μ＝11－ ＝11－ ＝11－＝11－＝10.9 ……………………8分 五1. (1) 绝对值级数 的部分和 正项级数 的部分和 (2) 用反证法，假定级数 收敛，其部分和为 设级数 的部分和为 ， 则级数 的部分和 与 收敛 , 故级数 发散 。 2．设 ……………………1分 即 （1） 左乘A ……………………3分 又 故 （2） 代入（1）得： 线性无关， ……………………5分 代入（2）得： 线性无关 ……………………7分 2006年 “2+2” 高等数学（B）答案及评分标准： 一. 填空题 ( 每题 3 分 ) 1. 和 2. -2 3. e-1 4. 5. 6. N (1,9) 7. 8. 1－2 二．选择题 ( 每题 3 分 ) 1． 2. 3. 4. 5. A 6. D 7. B 8. A 三．计算题 ( 每题 7 分 ) 1． ； 。 2．（1） 得4个驻点： , , , ； 是极大值点； 不是极值点； 不是极值点； 是极小值点 （2） 解得 6个驻点： , , , ， 在上述10个驻点上求出 z 的函数值，经比较可得 3． 4．（1） 收敛域是 （2） ， 收敛 5． 解一阶线性微分方程 ， 6．解：（1）1=A ， A = 3分 （2）p (= 5分 （3）F() = 7分 7．解：（1） 5分 (2) 7分 8．解：A=B 2分 B－E = = A = 9．解： 2分 当时，A有3个不同的特征值； 3分 当=1时，A有特征值（二重根）， ，E－A= 当b=－1时，r（E－A）=1 ， 6分 所以，当时，对任意的b ，A都有三个线性无关的特征向量, 当=1且b=－1时，A也有三个线性无关的特征向量。 7分 四、1．解 得驻点 由一阶导数变号法可知 是极小值点，极小值为 是极大值点，极大值为 当 时， ，此时 ， 当 时， ， 当 时， 不存在， 当 时， 不存在， 2．解：EL= =25 3分 6分 8分 3．解： 3分 （1）a=－1，时，不能由、2、3、、4 线性表出； 4分 （2）a=－1时，对任意b，可由、2、3、、4 线性表出,且表达式唯一， 7分 8分 五、1. 证： 设 ， 由罗尔定理 ， 存在一点 ， 使得 即 2．证明：设 1分 A[ 3分 6分 所以，,,,……线性无关 . 7分