湖南地区长沙市第一中学2016-2017年度学年高一上学期期末考试数学试题整理汇编含标准答案.doc

^. 长沙市第一中学2016-2017学年度高一第一学期期末考试 数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，则（ ） A． B． C． D． 2.幂函数（是常数）的图象（ ） A．一定经过点 B．一定经过点 C．一定经过点 D．一定经过点 3.若直线过点，，则直线与（ ） A．平行 B． 相交但不垂直 C．垂直 D． 相交于点 4.阅读如图的程序框图，若输入的分别是，则输出的分别是（ ） A． B． C. D． 5.设，则的大小关系为（ ） A． B． C. D． 6.已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C. D． 7.设，则的值为（ ） A． B． C. D． 8.已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ） A． B． C.或 D．或 9.设是一条直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C. 若，则 D．若，则 10.函数的大致图象是（ ） A． B． C. D． 11.一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为的正方形，则该机器零件的体积为（ ） A． B． C. D． 12.点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值为，则的值为（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ． 14.若点在圆上，点在圆上，则的最小值是 ． 15.已知在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ． 16.已知函数的定义域为实数集，满足（是的非空真子集），若在上有两个非空真子集，且，则的值域为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 设集合. （1） 若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 18. （本小题满分12分） 已知函数. （1） 若函数在上恒小于零，求实数的取值范围； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为与的交点，为棱上一点. （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的大小. 20. （本小题满分12分） 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点. （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程. 21. （本小题满分12分） 已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有. （1）判断并证明函数的单调性； （2）设，若对所有恒成立，求实数的取值范围. 22. （本小题满分12分） 已知圆，直线过点，且，是直线上的动点，线段与圆的交点为点，是关于轴的对称点. （1）求直线的方程； （2）若在圆上存在点，使得，求的取值范围； （3）已知是圆上不同的两点，且，试证明直线的斜率为定值. 长沙市第一中学2016-2017学年度高一第一学期期末考试 数学参考答案 一、选择题 1. A 2.C 3. C 由题意知，则，则，故两直线垂直. 4. B 5.B . 6.C 易知函数的图象开口向上，且对称轴为直线.若函数在区间上有零点，则只需满足，即，解得. 7.C 8.D 易知圆的圆心为，半径为，又圆截直线所得的弦的长度为， 则圆心到直线的距离为，则，解得或. 9.D 错，有可能；错，有可能；错，直线与平面可能平行，可能垂直，也可能相交但不垂直，还可能. 10.A 易知是奇函数，通过观察图象可排除选项；取，则，取，则，故排除选项. 11.A 此几何体为组合体，下面是正方体的一半，上面是球的，且球的半径为，所以体积. 12.D 如图，， ∴当最小时，面积取最小值，而最小即为点到直线的距离，又， ∴. 二、填空题 13. ∵函数的定义域为，∴解得. 14. 据题意易求，又两圆的半径分别为和，故的最小值为：. 15. 如图，取的中点，连接. 依题意知三棱柱为正三棱柱，易得平面， 故为与平面所成的角. 设各棱长为，则， 从而，则. 16. 当时，，而由于，所以，此时；当时，，，此时，所以函数的值域为. 三、解答题 17.解：（1）∵，∴，解得. （2）∵，∴或，解得或. 18.解：（1）由题意得：，解得. （2）因为函数在区间上单调递减， ①若，则只需函数的对称轴，解得； ②若，在区间上单调递减； ③若，则只需函数的对称轴，显然成立. 综上可知实数的取值范围是：. 19.解：（1）∵平面，平面，∴. ∵，∴为正三角形，四边形是菱形， ∴，又，∴平面， 而平面，∴平面平面. （2）如图，连接，又（1）可知，又， ∴即为二面角的平面角， 过作，交于点，则， 又， 在中，，∴， 即二面角的大小为. 20.解：（1）设圆的半径为，∵圆与直线相切， ∴，∴圆的方程为. （2）当直线与轴垂直时，易知直线的方程为， 此时，符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，设的中点为，则， ∴，又，， ∴，又，∴， 则直线的方程为：，即， 综上可知直线的方程为：或. 21.解：（1）为单调递增函数，证明如下： 先证明是定义在上的奇函数，令，则， 令，则， 是定义在上的奇函数，设， 则， 当时，有，所以， 故在上为单调递增函数. （2）由（1）知在上为单调递增函数， 所以在上的最大值为， 所以要使对所有恒成立， 只要，即恒成立， 令，则即 解得或. 故实数的取值范围是或. 22.解：（1）∵，∴直线上的斜率为， ∴直线上的方程为：，即. （2）如图可知，对每个给定的点，当为圆的切线时，最大，此时， 若此时，则，故只需即可，即， 又，代入得：. （3）据题意可求， ∵是关于轴的对称点，，∴，设，则， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去得：， ∵，同理可求， ， 故直线的斜率为定值.