江苏扬州中学2016-2017年度学年高二上学期期中专业考试数学试题.doc

-! 江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中考试 高二数学试卷 2016.11 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1．命题：“”的否定是 ． 2. 直线的倾斜角是________． 3.若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 4．命题“若，则”的逆命题是 . 5.与椭圆有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为 ． 6.如果对任何实数，直线都过一个定点，那么点的坐标是________. 7. 如果，，那么是的 条件. （从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空） 8.已知椭圆上一点到左焦点的距离是8，则到右准线的距离为 ． 9.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线： 垂直，则实数 ． 10．如果实数满足等式，那么的最大值是 ． 11．圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ． 12. 已知为双曲线的左、右焦点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为若，则双曲线离心率的值为 . 13. 已知直线与圆(为坐标原点)相交于两点,且是直角三角形,点是以点为圆心的圆上的一点,则圆的面积的最小值为 . 14. 已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点在直线上，顶点在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. 已知命题“关于的方程表示圆”，命题“,使得恒成立”. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为真命题，求实数的取值范围. 16．已知直线过点, （1）点和点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线与正半轴、正半轴分别交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 17．如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，是直线与椭圆的另一个交点，. . （1）求椭圆的离心率； （2）若,求的面积． 18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线． (1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m，求灯柱的高． 19．已知圆与轴负半轴的交点为,点在直线上，过点作圆的切线，切点为. （1）若，切点,求点的坐标； （2）若，求实数的取值范围; (3) 若不过原点的直线与圆交于两点,且满足直线的斜率依次成等比数列，求直线的斜率. 20.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足 ， （1）若点的坐标为，求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值; （3）在（1）的条件下，是否存在定圆，使得过圆上任意一点都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆;若不存在,说明理由. 命题、校对:刘晓静 审核:沈红、姜卫东 江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中 高二数学答案 2016.11 一、 填空题 1. 2. 3. 4. 充分不必要 5. 6. 7. 8．2 9. 10. 11. 4 12.2 13. 14. 二、解答题 15. 解：（1）若命题为真，则 整理得到 得 （2）若命题为真，则 即得 若为真，则，得 所以，若为真，则的取值范围是. 16. 解：（1）若直线斜率不存在，即，此时，点到直线的距离不相等. 故直线的斜率一定存在, 设直线的方程为即 由题意得: 解之得:或 故所求直线方程为或 (2)由题可知，直线的横、纵截距存在，且，则，又过点，的面积为4， ∴，解得，故方程为，即． 17. 解:（1）由题意可知，为等边三角形，，所以. （2）由题意得：,故。即, 所以直线的方程为 联立直线与椭圆的方程得:解得:或(舍) 所以点的坐标为,所以 18. 解：(1) 由题意知，BF＝，则xA＝1.5＋＝2， 代入y2＝2x得yA＝2，故A(2，2)． 设点A处的切线方程为y－2＝k(x－2)， 代入抛物线方程y2＝2x消去x，得ky2－2y＋4－4k＝0. 则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k＝. 故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y－2＝－2(x－2)，即y＝－2x＋6. (2) 由于路宽为10，则当x＝时，y＝－5，从而FD＝5. 又CF＝1，则CD＝6. 答：灯柱的高为6 m. 19. 解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT，又切点，所以，， 故直线PT的方程为，即.联立直线l和PT，解得即. （2）设，由PA＝2PT，可得，即，即满足PA＝2PT的点P的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，即，解得. (3)当直线垂直与轴时，显然不成立，所以设直线为，将它与圆方程联立并消去得，设，则，因为 ，故， 即，因为，所以，即. 20. 解：（1）因为,所以． 代入椭圆方程，得，① 又椭圆的离心率为，所以，② 由①②，得， 故椭圆的方程为．　 （2）设， 因为，所以． 因为，所以， 即 于是． 代入椭圆方程，得， (3)存在定圆 在定圆上任取一点,其中 设过点的椭圆的切线方程为即,将其与椭圆方程联立得: 整理得: 故过点的椭圆的两条切线斜率分别是的两解. 故,所以两条切线垂直. 当时,显然存在两条互相垂直的切线.