2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第11章 算法初步、复数、推理与证明 第4讲直接证明与间接证明 .docx
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1、第4讲直接证明与间接证明板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1直接证明考点2间接证明1反证法的定义假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法2利用反证法证题的步骤(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止;(3)由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立简言之,否定归谬断言必会结论分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交叉使用考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“
2、”,错误的打“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾()(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)(5)2要证明b0,m,n,则m,n的大小关系是_答案mn解析解法一:(取特殊值法)取a2,b1,得mn.解法二:(分析法)a0,显然成立6下列条件:ab0,ab0,b0,a0,b0且0成立,即a,b不为0且同号即可,故都能使2成立板块二典例探究考向突破考
3、向综合法证明例1已知sin,sinx,cos成等差数列,sin,siny,cos成等比数列证明:2cos2xcos2y.证明sin与cos的等差中项是sinx,等比中项是siny,sincos2sinx,sincossin2y,22,可得(sincos)22sincos4sin2x2sin2y,即4sin2x2sin2y1.421,即22cos2x(1cos2y)1.故证得2cos2xcos2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证
4、结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理【变式训练1】已知f(x),证明:f(x)f(1x).证明f(x),f(x)f(1x).故f(x)f(1x)成立考向分析法证明例2已知a0,证明: a2.证明要证 a2,只需证 (2)因为a0,所以(2)0,所以只需证22,即2(2)84,只需证a2.因为a0,a2显然成立1时等号成立,所以要证的不等式成立触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论
5、,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证【变式训练2】已知正数a,b,c满足abc1.求证:.证明欲证,则只需证()23,即证abc2()3,即证1.又1,当且仅当abc时取“”,原不等式成立考向反证法的应用命题角度1证明否定性命题例3设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?解(1)证明:若Sn是等比数列,则SS1S3,即a(1q)2a1a1(1qq2),a10,(1q)21qq2,解得q0,这与q0相矛盾,故数列Sn不是等比数列(2)当q1时,Sn是等差数列当q1时,Sn不是等差数列假设q1时,S1,
6、S2,S3成等差数列,即2S2S1S3,2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10,2(1q)2qq2,即qq2,q1,q0,这与q0相矛盾综上可知,当q1时,Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列命题角度2证明存在性问题例4设x、y、z0,ax,by,cz,求证:a、b、c三数至少有一个不小于2.证明假设a、b、c都小于2,则abc6.而事实上abcxyz2226(当且仅当xyz1时取“”)与abc6矛盾,a,b,c中至少有一个不小于2.命题角度3证明唯一性命题例5已知四棱锥SABCD中,底面是边长为1的正方形,又SBSD,SA1.(1)求证:SA平面ABCD;(2)在棱SC上是否存在
7、异于S,C的点F,使得BF平面SAD?若存在,确定F点的位置;若不存在,请说明理由解(1)证明:由已知得SA2AD2SD2,SAAD.同理SAAB.又ABADA,SA平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S,C的点F,使得BF平面SAD.BCAD,BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB,平面FBC平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾,假设不成立故不存在这样的点F,使得BF平面SAD.触类旁通反证法的适用范围及证明的关键(1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证(2)关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛
8、盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的【变式训练3】(1)若三个方程x24mx4m30,x2(m1)xm20,x22mx2m0中至少有一个方程有实数根,求实数m的取值范围解当三个方程都没有实根时,即解得所以m1.所以,三个方程中至少有一个方程有实根时,m的取值范围为m1或m.(2)若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a2),使函数h(x)是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由解由已知得g(x)(x1)21,其图象的对称轴为x1,区间1,b在对称轴的右边,所以函数在区间1,b上单调递增由“四维光军”函数的定义可
9、知g(1)1,g(b)b,即b2bb,解得b1或b3.因为b1,所以b3.假设函数h(x)在区间a,b(a2)上是“四维光军”函数,因为h(x)在区间(2,)上单调递减,所以有即解得ab,这与已知矛盾故不存在核心规律1.分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知2.综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知3.分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来满分策略1.当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易,一般用综合
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