2018届高考数学文科二轮复习练习(全国通用):第一篇 第16练 .docx
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1、第16练圆锥曲线的定义、方程与性质明考情圆锥曲线是高考的热点,每年必考,小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等,题目难度中档偏难.知考向1.圆锥曲线的定义与标准方程.2.圆锥曲线的几何性质.3.圆锥曲线的综合.考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.(2)求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法.1.(2017九江二模)设椭圆1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足9,则|的值为()A.8 B.10 C.12 D.15答案D解析点P是椭圆1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,|PF
2、1|PF2|8,|F1F2|4,9,即|cos 9,|2|2|22|cos (|)22|18642|1816,|15.2.(2017洛阳统考)已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距为10,c5,又双曲线的渐近线方程为yx,且P(2,1)在渐近线上,1,即a2b,由得a2,b,双曲线的方程为1,故选A.3.已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若AOB的面积为,则抛物线的准线方程为()A.x2 B.x2C.x1 D.x
3、1答案D解析因为e2,所以c2a,ba,双曲线的渐近线方程为yx.又抛物线的准线方程为x,联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程得A,B.在AOB中,|AB|p,点O到AB的距离为,所以p,所以p2,所以抛物线的准线方程为x1,故选D.4.(2017天津)已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 D.x21答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线yx上).由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60,c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上,tan 60.又a2b24,a1
4、,b,双曲线的方程为x21.故选D.5.(2017甘肃肃南裕固族自治县一中期末)抛物线yx2上的动点M到两定点(0,1),(1,3)的距离之和的最小值为_.答案4解析由题意得焦点F(0,1),设A(1,3),则|MA|MF|MA|yM|1|yA|14.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中:a2b2c2,离心率为e;在双曲线中:c2a2b2,离心率为e.方法技巧求离心率的两种方法(1)定义法:求出a,c,代入e进行求解.(2)方程法:只需根据一个条件得到关于a,b,c的各项式,然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.6.已知A是双曲线1(a0,b0)的左顶点,F1,F2分别为左、右焦点,
5、P为双曲线上一点,G是PF1F2的重心,若,则双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.4 D.与的取值有关答案B解析因为,所以,所以(O为坐标原点),即,所以e3.7.(2017广安模拟)椭圆1(ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()A.1 B.2C.1 D.2答案A解析根据题意,如图,设F(c,0),由OAF是等边三角形,则A,又A在椭圆上,则有1,a2b2c2,联立,解得c(1)a,则其离心率e1.8.(2017全国)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx,则a_.答案5解析双曲线的标准方程为1(a0),双曲线的渐近线方程为y
6、x.又双曲线的一条渐近线方程为yx,a5.9.(2016北京)双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点,如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2,c|OB|2.又AOB,tan 1,即ab.又a2b2c28,a2.10.设抛物线E:y22px(p0)的焦点为F,点M为抛物线E上一点,|MF|的最小值为3,若点P为抛物线E上任意一点,A(4,1),则|PA|PF|的最小值为_.答案7解析由题意,|MF|的最小值为3,得3,p6,抛物线E:y212x,抛物线y212x的焦点F的
7、坐标是(3,0).设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|PD|,要求|PA|PF|取得最小值,即求|PA|PD|取得最小值,当D,P,A三点共线时|PA|PD|最小,为4(3)7.考点三圆锥曲线的综合方法技巧圆锥曲线范围,最值问题的常用方法(1)定义性质转化法:利用圆锥曲线的定义性质进行转化,根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2)目标函数法:建立所求的目标函数,将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法:找出与变量相关的所有限制条件,然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.11.已知方程1表示椭圆,则实数m的取值范围是()A.(,1)B.(2,)C.(1,)D.答案
8、D解析由1转化成标准方程1,假设焦点在x轴上,则2m(m1)0,解得m1;假设焦点在y轴上,则(m1)2m0,解得2m.综上可知,m的取值范围为.12.(2016四川)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1答案C解析如图,由题意可知F,设P点坐标为,显然,当y00时,kOM0时,kOM0.要求kOM的最大值,不妨设y00,则(),kOM,当且仅当y2p2时等号成立.故选C.13.(2017全国)若双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2
9、,则C的离心率为()A.2 B. C. D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx,圆的圆心为(2,0),半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.由点到直线的距离公式得,解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A.14.过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AF,BF的长分别为m,n,则等于()A. B. C.2a D.答案B解析显然直线AB的斜率存在,故设直线方程为ykx,与yax2联立,消去y得ax2kx0,设A(x1,ax),B(x2,ax),则x1x2,x1x2,xx,max,nax,mn,mn,.故选B.15.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的
10、直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则AOB的面积为_.答案解析由已知得直线方程为y2(x1).由得3y22y80,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2,y1y2,|y1y2|,SAOB1.16.在直线y2上任取一点Q,过Q作抛物线x24y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点_.答案(0,2)解析设Q(t,2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为yx2,则yx,则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1),化简,得yx1xy1,同理,在点B处的切线方程为yx2xy2.又点Q(t,2)的坐标满足这两个方程,代入,得2x1ty1,2x2ty2,则说明A(x1,
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