2018年高考数学(理)二轮复习教师用书:第1部分 重点强化专题 专题4 第9讲 空间中的平行与垂直关系 .doc
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1、第9讲空间中的平行与垂直关系题型1空间位置关系的判断与证明(对应学生用书第30页)核心知识储备1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b.(4)面面平行的性质定理:,a,bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,l,a,ala.典题试解寻法【典题1】(考查空间位置关系的判断)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm
2、,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l解析根据所给的已知条件作图,如图所示由图可知与相交,且交线平行于l,故选D.答案D【典题2】(考查空间位置关系的证明)如图91,在三棱锥PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PAABBC2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点图91(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积思路分析(1)通过证明PA平面ABC得PABD;(2)通过证明BD平面PAC得面面垂直;(3)由PA平面BDE,D为AC的中点得PA与DE的位置及数量关系,从而求出三棱锥的体积
3、解(1)证明:因为PAAB,PABC,且ABBCB,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为ABBC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,且PAACA,所以BD平面PAC,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDEDE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DEPA1,BDDC.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC,所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.类题通法 平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化对点即时训
4、练如图92所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD底面ABCD,且PAPDAD.图92(1)求证:平面PAB平面PCD;(2)求三棱锥DPBC的体积. 【导学号:07804065】解(1)法一:(几何法)因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,又CDAD,所以CD平面PAD,所以CDPA.因为PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形,且APD,即PAPD.又CDPDD,所以PA平面PCD.又PA平面PAB,所以平面PAB平面PCD.法二:(向量法)取AD的中点O、BC的中点Q,连接OP,OQ,易知OQAD.因为PAPD,所以POAD,因为平面PAD平面ABCD
5、,平面PAD平面ABCDAD,所以PO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系由PAPDAD,知OP1.则O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),Q(0,2,0),C(1,2,0),D(1,0,0),P(0,0,1)设平面PCD的法向量为n(x,y,z),又(0,2,0),(1,0,1),则即令x1,则n(1,0,1)同理,可求得平面PAB的一个法向量为m(1,0,1),又nm1100(1)(1)0,故平面PAB平面PCD.(2)取AD的中点O,连接OP,如图因为PAPD,所以POAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以PO平面ABCD.即PO为三棱锥
6、PBCD的高,由PAPDAD,知OP1.因为底面ABCD是正方形,所以SBCD222.所以V三棱锥DPBCV三棱锥PBCDPOSBCD12.题型强化集训(见专题限时集训T1、T3、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14)题型2平面图形的翻折问题(对应学生用书第31页)核心知识储备翻折问题的注意事项(1)画好两图:翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图(2)把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系,哪些平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是准确把握几何体结构特征,进行空间线面关系逻辑推理的基础(3)准确定量:即根据平面图形翻折的要求,
7、把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征,这是进行准确计算的基础典题试解寻法【典题】(2016全国卷)如图93,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB5,AC6,点E,F分别在AD,CD上,AECF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD.图93(1)证明:DH平面ABCD;(2)求二面角BDAC的正弦值思路分析(1)题设条件翻折,DHEFDHOHDH平面ABCD;(2)建系求法向量求二面角的余弦值求二面角的正弦值解(1)证明:由已知得ACBD,ADCD.又由AECF得,故ACEF.因为EFHD,从而EFDH.由AB5,AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1
8、,DHDH3.于是DH2OH2321210DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEFH,所以DH平面ABCD.(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Hxyz,则H(0,0,0),A(3,1,0),B(0,5,0),C(3,1,0),D(0,0,3),(3,4,0),(6,0,0),(3,1,3)设m(x1,y1,z1)是平面ABD的法向量,则即所以可取m(4,3,5)设n(x2,y2,z2)是平面ACD的法向量,则即所以可取n(0,3,1)于是cosm,n.sinm,n.因此二面角BDAC的正弦值是.类题通法 平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关
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