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1、.河北工业大学考试试题纸(A卷)课程名称 线 性 代 数 题号一二三四五六七八九十总分题分151532141410100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题(每小题3分,共15分)1、设,则_。2、设,且,则_。3、已知,是三元齐次线性方程组的两个不同的解,且,则该方程组的通解为_。4、已知向量组,则_。5、设三阶方阵与对角阵相似,则 。二、单项选择题(每小题3分,共15分)1、设是n维列向量,且,则( )。(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2、设,则( )。(A) 1 (B) 2 (C) 1/2 (D) 43、设是向量空间的一个基,则下列仍是的一
2、个基的是( )。(A) (B) (C) (D) 4、二次型是正定二次型,则应满足( )。(A) (B) (C) (D) 5、设A为阶方阵,为的伴随矩阵,且,则的秩为( )。(A) (B) (C) 1 (D) 0三、计算题(每小题8分,共32分) 1、已知是行列式的元素的代数余子式,计算;2、设,求矩阵,使其满足;3、设为n阶方阵,且,计算;4、设,求:、为何值时,能由线性表示,且表示唯一,并求出表示式。四、(14分) 已知线性方程组(1) 求:a为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多个解;(2) 在方程组有无穷多个解时,用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。五、(14分) 已知实二次
3、型,(1)写出的矩阵;(2)求的秩;(3)求正交变换(必须写出正交变换矩阵P),把化为标准形。六、证明题(共10分)1、(6分) 设是齐次线性方程组的一个基础解系,证明:,也是该方程组的一个基础解系;2、(4分) 设为阶方阵,且,证明:。河北工业大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 ( A 卷)一、填空题(每小题3分,共15分)1、; 2、; 3、k(),kR; 4、3; 5、 3.二、选择题(每小题3分,共15分)1、C 2、A 3、B 4、D 5 、D三、解答题(每小题8分,共32分)1、 (3分) (8分)2、 由 得 (2分)因 (6分)所以 X= (8分)3、
4、因, (2分)所以 (4分) = = (6分) = = (8分)4、记,设. (2分) 解法一: (4分)故当 且时,方程组有唯一解,即能由线性表示,且表示式唯一; (6分)此时, ,. (8分) 解法二: (2分)故当 且时,方程组(1)有唯一解,即能由线性表示,且表示式唯一;(4分)此时, (4分) (8分)四(14分)、 系数矩阵为 ,增广矩阵为,(1)解法一 B (4分) 当且时,方程组有唯一解; 当时,B ,方程组无解; 当时,B ,方程组有无穷多个解。 (7分)解法二 (4分) 当且时,,,方程组有唯一解; 当时, ,方程组无解; 当时, ,方程组有无穷多个解。 (7分)(2) 在
5、方程组有无穷多个解时,得同解方程组,取,得原方程组一特解; (9分)在中取,得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为,; (12分)所以原方程组的通解为,为任意常数。 (14分)注:此题基础解系有很多种表示形式,改卷时需注意。五(14分)、(1) 的矩阵 ; (2分)(2)因 ,,所以的秩为2; (3分)(3)由 ,得A的特征值为,。 (6分) 当时,解方程,由=,得基础解系;当时,解方程,由=,得基础解系 ; 把单位化,得, (12分)则有正交阵和正交变换 ,把化为标准形. (14分)注:此题基础解系有很多种表示形式,故正交阵有多种形式,改卷时需注意。六、证明题1、(6分)证法一:由其次线性方程组解的性质知, 都是的解; (2分) 则有, , , , 因所以 K 可逆, 或 ,所以 K 可逆,从而 . 又因为是的一个基础解系,故它们线性无关,于是,解向量组线性无关,故是该方程组的一个基础解系。 (6分) 证法二:由其次线性方程组解的性质知, 都是的解; (2分) 设,则有, 因为是的一个基础解系,它们线性无关,故有其系数行列式为, 方程组有唯一零解,所以解向量组线性无关,故是该方程组的一个基础解系。(6分)2、证法一: 因为,所以, (1分) 则有, 故有。 (4分) 证法二:,因此 。 (3分)又因为,所以有。 (4分)
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