初三-二次函数压轴题30道附详细答案解析.doc

*. 二次函数压轴题30道（1） 　 一．解答题（共30小题） 1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 　 2．（2015•黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G． （1）求直线AC的解析式； （2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式； （3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标； （4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由． 　 3．（2015•永春县自主招生）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0． （1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状； （2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式； （4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标． 　 4．（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）． （1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？ （2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似； （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形； （4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形； ②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值． 　 5．（2015•芦溪县模拟）如图，已知抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒． （1）求a的值； （2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积； （3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值． （4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案） 　 6．（2015•江西校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若=时，求点P的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由． 　 7．（2015•武侯区模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC． （1）求∠PCB的度数； （2）若P，A两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； （3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标． 　 8．（2015•黄冈模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q． ①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？ ②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 9．（2015•临夏州模拟）如图（1），抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图（2）、图（3）为解答备用图] （1）k=　　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　　； （2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 　 10．（2015•大庆模拟）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B． （1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标； （3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由． 　 11．（2015•濠江区一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． （1）求抛物线的解析式； （2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标； （3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 　 12．（2014•遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． （3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标． 13．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线． （1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　　　　　　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　　　　　　． （2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）； （3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； （4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式． 　 14．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45时，求点M的坐标； （3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由． 　 15．（2014•六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）． （1）求二次函数的解析式． （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标． （3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积． （4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由． 　 16．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3． （1）求点M、A、B坐标； （2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值； （3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标． 　 17．（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH． （1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：　　　　　　； （2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围． 　 18．（2014•毕节市）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线Ac的解析式及B点坐标； （3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 　 19．（2014•丹东）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E． （1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式． （2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC． （3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积． （4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标． 　 20．（2014•临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A到直线CD的距离； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标． 　 21．（2014•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的代数式表示a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 　 22．（2014•济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 23．（2014•雅安）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点． （1）试求点A、C的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由． 　 24．（2014•济南）如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D． （1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影； （2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究： ①t为何值时△MAN为等腰三角形； ②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少． 　 25．（2014•营口）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式． 　 26．（2014•义乌市）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P． ①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积； ②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 27．（2014•西宁）如图，抛物线y=﹣x2+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF． （1）求点B，C所在直线的函数解析式； （2）求△BCF的面积； （3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 28．（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）． （1）求二次函数的最大值； （2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值； （3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标． 　 29．（2014•来宾）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　 30．（2014•孝感）如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上． （1）请直接写出下列各点的坐标：A　　　　　　，B　　　　　　，C　　　　　　，D　　　　　　； （2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2． ①当线段PH=2GH时，求点P的坐标； ②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值． 　 　  二次函数压轴题30道（1） 参考答案与试题解析 　 一．解答题（共30小题） 1．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解． 【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC=90． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90． 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M（3，0）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b， 则：，解得， ∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90． ∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C， 则点C在抛物线上，且C（，）． 当x=时，y=x+2=． ∴P2（，）． ∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上， ∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）． 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识． 　 2．（2015•黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G． （1）求直线AC的解析式； （2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式； （3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标； （4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式； （2）根据三角形面积公式即可写出解析式； （3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标； （4）过G作GH⊥y轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【解答】解：（1）y=﹣x2+2， x=0时，y=2， y=0时，x=2， ∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）， 设直线AC的解析式是y=kx+b， 代入得：， 解得：k=1，b=2， 即直线AC的解析式是y=x+2； （2）当0≤t＜2时， OP=（2﹣t），QC=t， ∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t， 当2＜t≤4时， OP=（t﹣2），QC=t， ∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t， ∴； （3）当AC或BC为等腰三角形的腰时， AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2） 当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2） 当AM=MC=BM时M为（0，0）． ∴一共四个点，（0，），（0，），（0，﹣2），（0，0）； （4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=． ∵GH∥OP ∴即=，解得GH=， 所以GC=GH=． 于是，GE=AC﹣AE﹣GC==． 即GE的长度不变． 当2＜t≤4时，过G作GH⊥y轴，垂足为H． 由AP=t，可得AE=． 由即=， ∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH， ∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2）， ∴2tGH=t（t﹣2）， 解得GH=， 所以GC=GH=． 于是，GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=， 即GE的长度不变． 综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值． 【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况． 　 3．（2015•永春县自主招生）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0． （1）如果m=﹣4，n=1，试判断△AMN的形状； （2）如果mn=﹣4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=﹣4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式； （4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【分析】（1）根据勾股定理可以求出AM．AN，MN的长度，根据勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形． （2）AM．AN，MN的长度可以用m，n表示出来，根据m，n的关系就可以证明． （3）M、A、N的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式． （4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，易证Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到就可以求出Q1Q2得到符合条件的点的坐标． 【解答】解：（1）△AMN是直角三角形． 依题意得OA=2，OM=4，ON=1， ∴MN=OM+ON=4+1=5 在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴MN2=AM2+AN2 ∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分） （2）答：（1）中的结论还成立． 依题意得OA=2，OM=﹣m，ON=n ∴MN=OM+ON=n﹣m ∴MN2=（n﹣m）2=n2﹣2mn+m2 ∵mn=﹣4 ∴MN2=n2﹣2（﹣4）+m2=n2+m2+8 又∵在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8 ∴MN2=AM2+AN2 ∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分） （3）∵mn=﹣4，n=4， ∴m=﹣1． 方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c． ∵抛物线经过点M（﹣1，0）、N（4，0）和A（0，2） ∴． ∴． ∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+2． 方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x﹣4）． ∵抛物线经过点A（0，2） ∴﹣4a=2解得a=﹣ ∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣（x+1）（x﹣4） 即y=﹣x2+x+2．（2分） （4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1， ∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM ∵抛物线的对称轴为直线x=， ∴Q1（，0）（2分） ∴NQ1=4﹣=． 过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2． ∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似 ∴ 即Q1Q2= ∵点Q2位于第四象限， ∴Q2（，﹣5）（2分） 因此，符合条件的点有两个， 分别是Q1（，0），Q2（，﹣5）． （解法不惟一） 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等． 　 4．（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）． （1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？ （2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似； （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形； （4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形； ②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值． 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】压轴题；动点型． 【分析】（1）可用t表示出OQ，BP的长，三角形OPQ中，OQ边上的高可用BP的长和∠PBO的正弦值求出，由此可得出关于S，t的函数关系式． （2）本题分两种情况： ①∠BQP=∠BOA，此时PQ∥OA，那么BQ=PB•cos∠PBO．由此可求出t的值． ②∠BPQ=∠BOA，此时BP=BQ•sin∠PBO．由此可求出t的值． （3）本题中无非是两种情况OQ⊥PQ或OP⊥QP，可分别表示出PO、QO、PQ三条线段的长，然后用勾股定理进行求解即可． （4）①如果三角形OPQ是正三角形那么（3）中表示三条线段长的表达式必然相等，可通过解方程求出此时t的值，如果方程无解则说明三角形OPQ不可能是正三角形． ②思路同①，设出Q点的速度，然后表示出三条线段的长，令三条线段的表达式相等，即可求出Q的速度和t的值． 【解答】解：（1）S=﹣0.3t2+当t=时，S最大=． （2）①∠BQP=∠BOA，在直角三角形BQP中，BP=BQ， 即5﹣t=（4﹣t）， 解得t=0． ②∠BPQ=∠BOA，在直角三角形BPQ中，BQ=BP， 即4﹣t=（5﹣t）， 解得t=9； 因为0≤t≤4， ∴t=9不合题意，舍去． 因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似． （3）作PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ， 则PQ= = =． PO= = =． OQ= = =≠t（t无解）． ∴QP不与OQ垂直 设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ ∴， ∴PQ2=t2，PQ2=OQ2﹣OP2=t2﹣t2+t﹣9=t﹣9 t2=t﹣9， 解得t=3，t=15（不合题意舍去） ∴当t=3是△OPQ是直角三角形． （4）①PO=，OQ=t，PQ= 令PO=OQ=PQ，解t无解 ∴△OPQ不能成为正三角形． ②设Q的速度为x，则OQ=xt． OP2=t2﹣t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2﹣t+12 令OP2=OQ2=PQ2 解得x=，t= 舍去负值，则t= 因此Q点的速度为， t=． 【点评】该题综合运用了三角形相似有关性质和勾股定理，同时运用了分类讨论和假设的数学思想，是道代数几何压轴题． 　 5．（2015•芦溪县模拟）如图，已知抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒． （1）求a的值； （2）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积； （3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值． （4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案） 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有 【专题】应用题；压轴题． 【分析】（1）把点D（0，8）代入抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4解方程即可解答； （2）利用（1）中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可； （3）利用梯形的面积计算方法解决问题； （4）只考虑PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案． 【解答】解：（1）把点（0，8）代入抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4得， a2﹣4a﹣4=8， 解得：a1=6，a2=﹣2（不合题意，舍去）， 因此a的值为6； （2）由（1）可得抛物线的解析式为y=x2﹣6x+8，