2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理学案北师大版必修4.doc
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1、3.2平面向量基本定理内容要求1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程,能够运用基本定理解题(难点)知识点1平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数1,2,使a1e12e2.(2)基底:把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底【预习评价】(1)0能不能作为基底?提示由于0与任何向量都是共线的,因此0不能作为基底(2)平面向量的基底唯一吗?提示不唯一,只要两个向量不共线,都可以作为平面内所有向量的一组基底题型一对向量基底的理解【例1】如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,
2、那么下列说法中不正确的是_e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量;对于平面内任一向量a,使ae1e2的实数对(,)有无穷多个;若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个实数,使得1e11e2(2e12e2);若存在实数,使得e1e20,则0.解析由平面向量基本定理可知,是正确的对于,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于,当两向量的系数均为零,即12120时,这样的有无数个答案规律方法考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来【训
3、练1】设e1,e2是平面内一组基向量,且ae12e2,be1e2,则向量e1e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1e2_a_b.解析由题意,设e1e2manb.因为ae12e2,be1e2,所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理,得所以答案【例2】设D为ABC所在平面内一点,3,则()A. B.C. D.解析由题得.故选A.答案A【迁移1】在例题中将“3”改为“”试用、表示.解2.【迁移2】在例题中将“3”改为“3”试用,表示向量.解由题.规律方法应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则,在平行四边形、三角
4、形中确定向量的关系(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系,如中点、三等分点等(3)一个重要结论:设a、b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1ay1bx2ay2b,则有题型三平面向量基本定理的应用【例3】如图,ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设a,c.(1)用a,c表示向量;(2)若点F在AC上,且ac,求AFCF.解(1)ca,(ca),()a(ca)ca.(2)设,a(ca)(1)ac.又ac,AFCF41.【训练2】设e1,e2是不共线的非零向量,且ae12e2,be13e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c3e1e2的分解式;(3)若
5、4e13e2ab,求,的值(1)证明设ab(R),则e12e2(e13e2)由e1,e2不共线得即不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底(2)解设cmanb(m、nR),则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.即c2ab.(3)由4e13e2ab,得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.即故所求、的值分别为3和1.课堂达标1设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2解析B中,6e18e22(3e14e2),(6e
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