第三讲向量的数量积的概念及运算.doc
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1、第三讲 平面向量的数量积一、知识点:1平面向量数量积的概念(1)与的数量积已知两个非零向量和,它们的夹角设为,则 叫做与的数量积(或内积),即 = ,并规定,零向量与任一向量的数量积为 。(2)平面向量数量积的几何意义数量积 = 的长度|与 的乘积。(3)由向量数量积的定义知:,当、 为非零向量时, 的符号由夹角的余弦来确定;当时,;当时,;当与至少有一个为零向量或时,2平面向量数量积的性质与运算律(1)平面向量数量积的性质设、 都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则 当与同向时,;当与反向时, ;特别地, 或 (2)平面向量数量积的运算律(交换律) 3平面向量数量积的坐标表示(
2、1)若则 (2)设=(x,y),则 (3)若向量的起点和终点坐标分别为,则 ,这就是平面内两点间的距离公式(4)设非零向量 4向量的数量积与数的乘法的区别(1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值决定。(2)当|0时,由不能推出一定是零向量。这是因为对任一与垂直的非零向量,都有(3)(4)一般地,这是由于和都是实数,而不一定共线。(5)对于实数、,有,但对于向量,有(6)根据向量的数量积的运算律可以证明:5(1)求两非零向量,的夹角;利用(2)计算向量的长度或平面内两点A、B间的距离二、基础练习1.已知向量与的夹角为,且,那么的
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