(整理版)攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型.doc
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1、攻克“抽象函数与分段函数的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式,只给出函数的抽象表达关系式,利用这些关系式解题;分段函数是将函数的定义域分成假设干个子区间,不同的子区间有不同的表达式由于这两类函数表达形式比拟特殊,使得这类问题成为函数内容的难点,而这两类函数在函数内容又占重要位置,本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下:一、确定解析式问题例1 y=f(x)满足,其中a、b、c都是非零的常数,ab,求函数的解析式【分析】y=f(x)没有具体结构,条件中的a、b、c a、b、c都是的常数,不可用待定系数法去求解此题可用,转化出另一个式子,采用解方程组的方法求解【解析】,以代换x得:,联立
2、两式消去f()得:,【点评】从所给式子出发,看成一个变式,把x换成以后得到方程组,故视f(x)为一个未知量,解之得f(x),称此法为“函数方程法求抽象函数解析式这是常用的方法例2 设f(x)是定义域为R的函数,且满足f(x)=f(x),当x0,+时,求f(x)的解析式【分析】利用f(x)=f(x)求,0上的表达式即可【解析】f(x)=f(x),又当x0时,x0,由,那么 x0,【点评】给出某区间上的表达式,求对称区间上的表达式时,常常应用f(x)=f(x)或f(x)= f(x)进行转化二、求函数值问题例3函数f(x)定义在正整数集上,且满足:f(1)=和f1+f2+fn= fn,那么f()的值
3、为_【分析】首先根据所给的条件求出fn的表达式,在求值【解析】由f1+f2+fn= fn,得:f1+f2+fn1= fn1,两式相减得:fn= fn fn1n3,变形得:n3,由得:,又f(1)=,于是有,故f()=【点评】由fn= fn fn1n3推出fn的表达式,整个运算过程,都需要有一定的观察分析能力,善于从式子结构出发,向下进行,进而求出f()例4函数,假设f(x)=10,求x=_【分析】首先确定用那一局部的函数表达式求解x,从f(x)=10可以看出,要求函数的值是正数,故不用f(x)=2xx0【解析】由于f(x)=100,而当f(x)=2xx0时,f(x)0,于是应用,令=10,x=
4、3,由于x0,故x=3三、定义域与值域问题例5 函数y=f(2x+1)的定义域是0,1,求y=f(x)的定义域【分析】函数y=f(2x+1)的定义域是0,1,是指解析式中x的取值范围,2x+1不是自变量,而是中间变量,f(2x+1)中的中间变量相当于f(x)中的x,所以此题是x0,1,求2x+1的取值范围【解析】函数y=f(2x+1)的定义域是0,1,0x1,12x3,函数y=f(x)的定义域是1,3【点评】假设函数y=f(x)的定义域为a,b,求y=f(g(x)的定义域,只需将g(x)代换为x,解不等式ag(x)b,求出x的集合即为y=f(g(x)的定义域;假设y=f(g(x)的定义域为a,
5、b,求函数y=f(x)的定义域,只要求出y= g(x) ,xa,b,的值域即为y=f(x)的定义域例6 函数,求其定义域和值域【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集;求分段函数的值域需要分段求出值域,在取并集11【解析】,由于1,1(1,+)(,1=R,可知,定义域为R当x1,1时,f(x) 0,1;而当x1,+,1时,fx=2,因此函数的值域为:0,1 2四、函数性质问题1、单调性例7 函数y=f(x)的定义域为R,对任意xR,均有f(x+x)=f(x)+f(x),且对任意x0,都有f(x)0,f(3)=31证明函数y=f(x)是R上的单调减函数;2试求函数y=f(x)在m,nm
6、,nZ且mn0上的值域【分析】利用函数的单调性的定义证明;由1的结论可知f(m)、f(n)分别是函数y=f(x)在m,n上的最大值与最小值,故求出f(m)与f(n)即可得所求函数的值域【证明】1任取、,且,由题设f(x+x)=f(x)+f(x),可知,0,f()0, ,故y=f(x)是R上的单调减函数2由于y=f(x)是R上的单调减函数,y=f(x)在m,n上也是单调递减函数,y=f(x)的最大值为f(m),最小值为f(n),f(n)=f1+(n1)=f(1)+f(n1)=2f(1)+f(n2)=nf(1),同理f(m)= m f(1)f(3)=3,f(3)=3 f(1) =3,f(1)=1,
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