2015年全国高级中学数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc
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1、- 2015年全国高中数学联赛(B卷)(一试)1、 填空题(每个小题8分,满分64分1:已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是 2:已知为偶函数,且,则的值为 3:某房间的室温(单位:摄氏度)与时间(单位:小时)的函数关系为:,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是 4:设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则 5:已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得的最小正整数的值是 6:设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和,若是单元集,则的值为 7:设为椭圆上的动点,点,则的最大值为 8:正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点
2、,则的概率为 2、 解答题9:(本题满分16分)数列满足对任意正整数,均有(1) 求的通项公式;(2) 如果存在实数使得对所有正整数都成立,求的取值范围10:(本题满分20分)设为四个有理数,使得:,求的值11:(本题满分20分)已知椭圆的右焦点为,存在经过点的一条直线交椭圆于两点,使得,求该椭圆的离心率的取值范围 (加试)1:(本题满分40分)证明:对任意三个不全相等的非负实数都有:,并确定等号成立的充要条件2:(本题满分40分)如图,在等腰中,设为其内心,设为内的一个点,满足四点共圆,过点作的平行线,与的延长线交于求证:3:(本题满分50分)证明:存在无穷多个正整数组满足:4:(本题满分5
3、0分)给定正整数,设是中任取个互不相同的数构成的一个排列,如果存在使得为奇数,或者存在整数,使得,则称是一个“好排列”,试确定所有好排列的个数。 2015年全国高中数学联赛(B卷)解答 (一试)3、 填空题(每个小题8分,满分64分1已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是 答案:(-2,+)解:,所以,解得:2已知为偶函数,且,则的值为 答案:2015解:由己知得,即=20153某房间的室温(单位:摄氏度)与时间(单位:小时)的函数关系为:,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是 答案:解:由辅助角公式:,其中满足条件,则函数的值域是,室内最大温差为,得 故,等号成立
4、当且仅当4设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则 答案:解:取BD的中点O,连接OA, OA1 , OC1则A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,因此A1OC1=, 又OA1C1是等边三角形故A1O= A1C1=,所以5已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得的最小正整数的值是 答案:34解:设数列的公差为,则因为依次成等比数列,所以,即化简上式得到:又,所以由 解得6设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和,若是单元集,则的值为 答案:解:点集A是圆周,点集B是恒过点 P (-1,3)的直线及下方(包括边界)作出这两个点集知,当A自B是单元集时,直
5、线l是过点P的圆的一条切线故圆的圆心 M (1, l)到直线l的距离等于圆的半径,故结合图像,应取较小根7设为椭圆上的动点,点,则的最大值为 答案:5解:取F ( 0 , l ),则 F, B分别是椭圆的上、下焦点,由椭圆定义知,|PF|+|PB|=4因此,| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5当P在AF延长线与椭圆的交点时,|PA|+|PB|最大值为58正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,则的概率为 答案解:因为,所以故的充分必要条件是,即向量的夹角不超过对任意给定的向量,满足条件的向量可的取法共有: 种,故的概率是:4、 解答题9(本题满分16
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