历年概率论与数理统计试题分章整编汇总.doc

*. 历年概率论与数理统计试题分章整理 第1章 一、选择与填空 11级 1、设，，则 。 1、设为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。 (A) 若，则为不可能事件 (B) 若与相互独立，则与互不相容 (C) 若与互不相容，则 (D) 若，则 10级 1. 若为两个随机事件，则下列选项中正确的是　C　 。 (A) (B) (C) (D) 1. 某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为 。 2. 在中随机取数，在中随机取数，则事件的概率为 。 09级 1. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 . 2. 在区间中随机地取两个数，则事件{两数之和大于}的概率为 . 1. 设为两个随机事件，若事件的概率满足，且有等式成立，则事件 C . (A) 互斥 (B) 对立 (C) 相互独立 (D) 不独立 08级 1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 B 。 (A) (B) (C) (D) 1、在区间之间随机地投两点，则两点间距离小于的概率为 。 07级 1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。 2、在区间之间随机地取两个数，则事件{两数的最大值大于}发生的概率为　　。 二、计算与应用 11级 有两个盒子，第一个盒子装有2个红球1个黑球，第二个盒子装有2个红球2个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。 （1）求这个球是红球的概率； （2）重复上述过程10次，记表示出现取出的球为红球的次数，求。 解答：（1）令事件{取得一个红球}，事件{从第i个盒子中取得一个红球}，，于是 ， ， ， ， 由全概率公式有 ……………………………………………………………………...4分 （2） ……………………………………….4分 10级 1. 已知为两个随机事件，且，，，求： （1）；（2）；（3）。 解答：（1） ………2分 ………2分 （2） ………2分 （3）方法1： ………2分 方法2： ………2分 09级 1. 设为两个随机事件，且有，计算： （1）； （2）； （3）. 解答：（1）； ……1分 （2），故； ……2分 （3） . ……3分 08级 1、 设为两个事件，，，，求： （1）； （2）； （3）. 解答： 07级 2、 设为三个事件，且，，， ，求： （1）； （2）； （3）至少有一个发生的概率。 解答：（1）； （2）； （3） P{至少有一个发生} 。 第2章 一、选择与填空 11级 2、设随机变量服从正态分布，为其分布函数，则对任意实数，有 1 。 10级 3. 设随机变量与相互独立且服从同一分布： ，则概率的值为 。 08级 2、设相互独立的两个随机变量，的分布函数分别为，，则的分布函数是 C 。 (A) (B) (C) (D) 3、设随机变量，，且与相互独立，则 A 。 (A) (B) (C) (D) 07级 1、已知随机变量X服从参数，的二项分布，为X的分布函数，则 D 。 (A) (B) (C) (D) 二、计算与应用 11级 1、已知随机变量的概率密度函数为 求：（1）的分布函数； （2）概率。 解答：（1） 当时， ………….……………………….1分 当时， ………...2分 当时， ………………………….1分 综上， （2） ………………………………….3分 2、设连续型随机变量的概率密度函数为 求随机变量的概率密度函数。 解法1：由于所以， …...………………………….1分 …………………..6分 解法2： 当时： ………………………………………………………1分 当时：….5分 当时： …………………………….……………………………1分 故 10级 2. 已知连续型随机变量的概率密度函数，求： （1）常数C； （2）的分布函数；（3）概率。 解答：（1） ………1分 ………1分 （2）当时， 当时， 故的分布函数 ………4分 （3） ………2分 3. 设随机变量在区间上服从均匀分布，求随机变量的概率密度函数。 答： ………2分 方法1：的反函数为，故 ………2分 ………4分 方法2： ………2分 当时： 当时： ………2分 当时： 故 ………2分 09级 2. 设有三个盒子，第一个盒装有4个红球，1个黑球；第二个盒装有3个红球，2个黑球；第三个盒装有2个红球，3个黑球. 若任取一盒，从中任取3个球。 （1）已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率； （2）以表示所取到的红球数，求的分布律； （3）若，求的分布律. 解答：（1）设“取第箱”，“取出的个球中有个红球”，则 . ……2分 （2）， ， ，， 因此，的分布律为 ……2分 （3），， ， 因此，的分布律为 ……2分 3. 设连续型随机变量的分布函数为 （1）求系数的值及的概率密度函数； （2）若随机变量，求的概率密度函数. 解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此： ，，即得 ， ……3分 （2）（方法1）对任意实数，随机变量的分布函数为： 当时：， 当时：， 当时：， 当时： 于是，. ……3分 (方法2) ……3分 08级 2、已知连续型随机变量的分布函数为 ， 求：（1）常数c； （2）的概率密度函数； （3）概率。 解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故； （2）； （3）。 3、设随机变量服从标准正态分布，求随机变量的概率密度函数。 解答：，的反函数为和，因此 07级 2、已知连续型随机变量的分布函数为 ， 求（1）常数和；（2）的概率密度；（3）概率。 解答：（1）由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，将和代入，得到关于和的方程： ， 解得：，； （2）对求导，得的概率密度为 （3）=。 3、设随机变量在区间上服从均匀分布，求的概率密度。 解答：（解法一）由题设知，的概率密度为。 对任意实数，随机变量的分布函数为： 当时：； 当时： ； 当时：， 故 于是， 。 (解法二) 第3章 一、选择与填空 11级 3、设随机变量与相互独立，在区间上服从均匀分布，服从参数为2的指数分布，则概率 。 2、设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，、分别为、的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 A 。 (A) (B) (C) (D) 10级 3. 设随机变量与相互独立且都服从参数为的指数分布，则服从　B 。 (A) 参数为的指数分布 (B) 参数为的指数分布 (C) 参数为的指数分布 (D) 上的均匀分布 二、计算与应用 11级 3、设二维随机变量的联合分布律为 Y X （1）求概率； （2）求与的相关系数，并讨论与的相关性，独立性。 解答：（1）….3分 （2），故。 因，故与不相关。 …………………………………………2分 由联合分布律显然，所以与不独立。 …………………2分 1、设二维随机变量的联合概率密度函数为 求：（1）常数； （2）的边缘概率密度函数； （3）在的条件下，的条件概率密度函数； （4）条件概率。 解答：（1） …………………………………………...1分 …………………………………………………...2分 （2） ……...................3分 （3）当时， ………………2分 （4） ………………………..2分 10级 1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为 求：（1）常数； （2）的边缘概率密度函数； （3）在的条件下，的条件概率密度函数； （4）条件概率。 解答：（1） ………1分 ………2分 （2） ………3分 （3）当时， ………2分 （4） ………2分 09级 1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为 （1）求关于的边缘密度函数； （2）试判断与是否相互独立？ （3）计算. 解答：（1）= ； ……4分 （2）与（1）类似，易知，满足，因此与相互独立； ……4分 （3）=. ……2分 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，并且分数在60分至84分之间的考生人数占考生总数的68.2%，试求考生的外语成绩在96分以上的概率. 0 1.0 2.0 3.0 0.500 0.841 0.977 0.999 解答：根据题意有， =68.2%， ……4分 故，因此， ……2分 . ……2分 08级 1、设二维随机变量的联合概率密度函数为 求：（1）（X，Y）的边缘概率密度函数和条件概率密度； （2）概率； （3）随机变量的概率密度函数。 1、解答：（1）= ， 当时： ； （2）； （3） 当时：； 当时：； 当时：。 因此，。 07级 1、设二维随机变量的联合概率密度函数为 求（1）常数； （2）（X，Y）的边缘概率密度函数和条件概率密度函数； （3）概率。 1. 解答：（1）由于， 即，推得。 （2）= ， 当时： ； （3）=。 第4章 一、选择与填空 11级 3、将一枚质量均匀对称的硬币独立地重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数为 B 。 (A) (B) (C) (D) 10级 2. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则的值为　A。 (A) 2 (B) 3 (C) (D) 09级 2. 设和为独立同分布的随机变量，的分布律为，，令随机变量，则数学期望 D . (A) (B) (C) (D) 08级 2、设随机变量服从参数为1的泊松分布，则　　。 3、设随机变量和的相关系数为0.5，，，则6。 07级 2、下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是 B 。 (A) 服从正态分布 (B) 服从均匀分布 (C) 服从参数为指数分布 (D) 服从参数为3的泊松分布 3、若二维随机变量的相关系数，则以下结论正确的是 B 。 (A)与相互独立 (B) (C)与互不相容 (D) 3、设随机变量X服从参数为的指数分布，则= 。 二、计算与应用 10级 将2封信随机地投入2个邮筒，设随机变量分别表示投入第1个和第2个邮筒的信的数目，试求： （1）的联合分布； （2）的数学期望及方差； （3）的相关系数； （4）判断是否不相关. 是否相互独立。 解答：（1） Y X 0 1 2 0 0 0 1 0 0 2 0 0 ………4分 （2）X与Y同分布，且X的分布为： X 0 1 2 P 因此 ，， ………2分 （3）方法1：，，， 故 ………2分 方法2：由于，即，与存在线性关系，因此。 ………2分 （4）相关，不独立 ………2分 09级 4. 设随机变量与的相关系数，，令， ，且与不相关，求常数. 方法1） 由于与不相关，因此， ……4分 于是. ……2分 (方法2) 则 由于与不相关，因此， ……4分 于是. ……2分 08级 2、设随机变量和的分布律为 0 1 0 1 并且。 （1）求，的数学期望以及方差； （2）求的联合分布律； （3）求，的协方差； （4）判断，是否不相关，是否独立。 解答：（1）； （2） X2 X1 -1 0 1 0 0 1 0 0 （3）； （4）由知故不相关； 又()联合分布律中不满足，所以不独立。 设某企业生产线上产品的合格率为，不合格品中只有的产品可进行再加工，且再加工的合格率为，其余均为废品。已知每件合格品可获利元，每件废品亏损元，为保证该企业每天平均利润不低于万元，问该企业每天至少应生产多少产品？ 解答：每件产品的合格率为，不合格率为0.016，设随机变量表示生产每件产品的利润，则的分布律为： 80 -20 0.984 0.016 每件产品的平均利润即，有，因此企业每天至少应生产256件产品。 07级 2、设二维随机变量（）的概率分布为 X Y 0 1 -1 0.64 0 0.04 0.8 1 （1）请将上表空格处填全； （2）求，的数学期望以及方差、、、； （3）求，的协方差以及相关系数，并判断是否不相关，是否独立； （4）记，求的概率分布，并求。 2. 解答：（1） X Y 0 1 -1 0.16 0.64 0.8 0 0.04 0.16 0.2 0.2 0.8 1 （2），； （3）， ，故不相关， 又()联合分布律中满足，所以也相互独立； Z -1 0 1 P 0.16 0.68 0.16 （4）=。 07级 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取2件产品放入乙箱后，求： (1) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率； (2) 乙箱中次品件数的数学期望。 解答：（1）设A0，A1，A2为从甲箱中取到了0，1，2个次品； 设B为从乙箱中任取一件次品，则 ； （2）设X表示乙箱中次品件数，则X可能取0，1，2， ；； X 0 1 2 P 故X分布率为 因此：。 三、证明 10级 1. 设随机变量与的相关系数为，且满足，令，，证明：与不相关。 证明： ………2分 即 ，故 与不相关 ………2分 08级 证明在一次试验中，事件发生的次数的方差。 证明：在一次试验中，事件发生的次数为1或0，设的概率为， 的概率为，则的方差 。