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1、-/一、 事件的关系与运算1、设表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为( A )(A)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. (B)“甲种产品滞销”.(C)“乙种产品畅销”. (D)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”.二、 五大公式:1、已知事件,有概率,条件概率,则 0.62 1、已知事件,有概率,条件概率,则 0.78 ;1、已知事件,有概率,条件概率,则 0.28 ;1、设、是三个事件,则 3/4(或0.75) ;1、设、是三个事件,则 1/3 ;1、设、是两个随机事件,且,则发生的概率为 1/3 ;1、已知, ,则 5/12 ;1、设、是两个随机事件,且,则发生的概率为 ;1设事
2、件、互不相容,则(A). (B). (C). (D). ( D )1、若,则( C )(A) 0.2 ; (B) 0.45; (C) 0.6; (D) 0.75;1、若,则( C )(A) 1/5 ; (B) 1/4; (C) 1/3; (D) 1/2;1、从多年的教学经验可知,一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8,不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。(1)任取我们班一名同学,求该同学超过425分的概率?(2)如果一名同学得分超过425分,则他参加过培训的概率有多大?解:设事件=“参加培训”,=“英语CET4成绩超过
3、425分”,则,所以(1)。(2)。1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%、35%、40%,并且在各自的产品里,不合格品各占5%、4%、2%。问:(1)全部螺丝钉的不合格品率为多少?(2)若现在从产品中任取一件恰是不合格品,则该不合格品是甲厂生产的概率为多大?解:设表示“螺丝钉由甲台机器生产”,表示“螺丝钉由乙台机器生产”, 表示“螺丝钉由丙台机器生产”,表示“螺丝钉不合格”。(1)由全概率公式=0.250.05+0.350.04+0.400.02=0.0345; (5分)(2)由贝叶斯公式 (3分)1、金鱼的主人外出,委托朋友换水,设已知如果不换水,金鱼死去的概率
4、为0.8,若换水,则金鱼死去的概率为0.15。有0.9的把握确定朋友会记得换水。问:(1)主人回来金鱼还活着的概率?(2)若主人回来金鱼已经死去,则朋友忘记换水的概率为多大?解:设表示“朋友换水”,表示“金鱼还活着”,则,(1)由全概率公式=0.90.85+0.10.2=0.785; (5分)(2)由贝叶斯公式 (8分)1、 已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设“任取一产品,经检验认为是合格品” (2
5、) “任取一产品确是合格品” 则(1) (3) (2) . (2)1、有甲、乙、丙三个盒子,其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子,若出现1,2,3点则选甲盒,若出现4点则选乙盒,否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求:(1)取出的球是白球的概率;(2)当取出的球为白球时,此球来自甲盒的概率。解:设 =“选中的为甲盒”, =“选中的为乙盒”, =“选中的为丙盒”,=“取出一球为白球”,已知, (3分)(1)由全概率公式 (2分)(2)由Bayes公式 (2分) 1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“”和“”,由于通信系统受到干扰,当发出信
6、号“”时,收报台未必收到“”,而是分别以概率0.8和0.2收到信号“”和“”,同样当发出信号“”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“”和“”,求:(1)收报台收到信号“”的概率;(2)当收报台收到信号“”时,发报台是发出信号“”的概率。解:设 =“发出信号”, =“发出信号”, =“收到信号”,已知, (3分)(1)由全概率公式 (2分)(2)由Bayes公式 (2分)三、 三大概型(古典、几何、伯努利)2、设10件中有3件是次品。今从中随机地取3件,则这三件产品中至少有1件是次品的概率为;2、已知10件产品中由2件次品,在其中任取2次,每次任取一件,作不放回抽样,则其中一件是正品,一
7、件是次品的概率为 16/45 ;1、同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有两枚硬币正面向上的概率为( C )(A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8;1、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为( B )(A) ; (B) ; (C) ; (D) ;1、袋中有5个球(3个红球,2个白球),每次取1个,无放回地抽取两次,则第二次取到红球的概率为( A )(A) ; (B) ; (C) ; (D) ;2、已知某型电子器件寿命(以天计)的概率密度函数为 (1)求的分布函数(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取
8、10只,以表示寿命大于15天的器件的只数,求的分布律。解:(1)因为 当时,当时,故(4分)(2)因为任意一只器件寿命大于15天的概率为, 又各器件损坏与否相互独立,所以服从,概率分布律为 (8分)2、已知随机变量的概率密度函数为 (1)求的分布函数(2)现对独立地重复观察4次,以表示大于的次数,求的分布律。解:(1)因为 当时,当时,当, ,故(4分)(2)因为大于的概率为,所以服从,概率分布律为 (4分)四、 一维随机变量的分布及性质5设随机变量,令,则的分布律为4、随机变量X的分布函数是,则X的分布律是 , 0.4 ;9、设随机变量的概率密度为,令,则的分布律为 ;4、随机变量的分布函数
9、是,则 0.4 ;2设离散型随机变量的分布律为,且,则参数(A) (B) (C) (D)不能确定 ( C )2、设离散型随机变量的分布律为,则参数( D )(A) 1/5 ; (B) 1/4; (C) 1/3; (D) 1/2;3、设连续型随机变量的概率密度为,则参数( D )(A) 0 ; (B) 1; (C) ; (D) ;2、设随机变量的概率分布律为,则参数( C)(A) 的任意实数; (B) ; (C) ;(D) ;五、 连续型概率密度与分布函数的相关计算5、连续型随机变量的分布函数为,则概率密度函数为;4、随机变量的分布函数是,则随机变量的概率密度函数为;4、随机变量的分布函数是,则
10、随机变量的概率密度函数为;5、设随机变量的概率密度为,若,则;7、随机变量在内服从均匀分布,则关于的方程有实根的概率为_3/5(或0.6)_;3、随机变量的概率密度为 求(1)常数; (2)的分布函数; (3)解:(1)因为,所以. (3分)(2)因为(4分)(3)因为为连续型随机变量,。或 (4分)2、随机变量的概率密度为, 求(1)常数; (2); (3)的分布函数。解:(1), (2分) (2)(2分) (3)当时,当时,的分布函数为 (3分)2、设连续型随机变量的分布函数为 求(1)和;(2);(3)概率密度函数;(4).解:(1),. (2分)(2) (2分) (3) (2分)(4)
11、(2分)六、 一维随机变量的函数的分布求法3、设随机变量的分布函数为,则的分布函数为( A )(A);(B) ;(C) ;(D ;3、设随机变量的概率密度为,则的概率密度为( B )(A);(B);(C) ;(D) ;4、设圆的半径,求圆的面积的分布密度。解:因为,当,;当,;当,所以1、设长方形的长,已知长方形的周长为2,求长方形面积的数学期望和方差。解:因,故 (1分)面积为,所以(2分),(3分)2、若,求的概率密度函数。解:因为当时,是不可能事件,所以;又当时,(5分)所以的概率密度函数(3分)1、设,求的概率密度。解:设随机变量和的分布函数分别为、,先求的分布函数。由于,故当时, (
12、1分)当时,有,将关于求导数,即得的概率密度为(4分)1、设,求的概率密度。解:设随机变量和的分布函数分别为、,先求的分布函数。由于,故当时, (2分)当时,有,将关于求导数,即得的概率密度为(4分)1、设随机变量,求的分布密度函数。解:因,故 (1分)(3分)(2分)七、常见随机变量的分布与数字特征2设,则_6_,_0.4_。2、设,则;1设离散型随机变量,则_0.8_。3、若 且,则 2/3 ;3、若 ,则 6 ;3、设,且,则_2_;4、设随机变量服从参数为1的泊松分布,则;3、设随机变量服从参数为1的泊松分布,则;6、设和相互独立,且分别服从参数为3和5的泊松分布,则服从参数为 8 的
13、泊松分布;2、设随机变量的概率分布律为,则参数( D )(A) 0 ; (B) 1; (C) ; (D) ;4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数服从参数为泊松分布,则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为;3、尽管一再强调考试不要作弊,但每次考试往往总有一些人作弊。假设某校以往每学期期末考试中作弊同学人数服从参数为10的泊松分布,则本次期末考试中无同学作弊的概率为 ;5某地每天发生交通事故的次数服从参数为泊松分布,则明天至少发生一次交通事故的概率为;5、设随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率为 4/5或0.8 ;3设随机变量,的分布函数为,则的值为 (A). (B). (C). (D).
14、 ( A )4、若,则)=( A )(A);(B);(C);(D)。4、若服从标准正态分布,则=( B )(A);(B);(C);(D);6、若且与相互独立,则;8、已知,则;2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 ( D ); ; ; (D) 2、已知某同学投篮球时的命中概率为,设表示他首次投中时累计已投篮的次数,则的概率分布律为,;3、设某批电子元件的正品率为,次品率为,现对这批电子元件进行测试,只要测得一个正品就停止测试工作,则测试次数的分布律为;6、一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止,设每次击中目标的概率为,为首次击中目
15、标时的射击次数,则的数学期望为 1/p ;4、设连续型随机变量的概率密度为,则( D )(A) 0 ; (B) 1; (C) ; (D) ;4、已知某种型号电子器件的寿命(以小时计)的概率密度函数为 (1)求的分布函数(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取10只,以表示寿命大于150小时的器件的只数,求的分布律。解:(1)因为 当时,当时,所以 (4分)(2)因为任意一只器件寿命大于150小时的概率为, 又各器件损坏与否相互独立,所以服从,概率分布律为 (8分)1、某地区人口寿命服从的寿命分布,求该地区人口的平均寿命和40岁以前死亡的概率。解:因服从的寿命分布,故 (1分)
16、(1)人的平均寿命; (2分)(2)该地区人40岁以前死亡的概率 (3分)八、 二维离散型随机变量的概率分布5、从1,2,3中任取一个数,记为,再从任取一个数,记为,则 5/18 ;6设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立,则的值为 (A). (B). (C) (D). ( A )7设随机变量与相互独立,其概率分布分别为 则有 (A) (B)(C) (D) ( C )1、二维随机变量的联合分布律为 (1)求的边缘分布律;(2)求。解:.(1),。 (5分)(2)。 (3分)2、二维随机变量的联合分布律为 (1)求的边缘分布律;(2)求;(3)是否相互独立。解:(1),。(4分)(2) (7
17、分)(3)因为,不相互独立。1、二维随机变量的联合分布律为 (1)求和;(2)求;(3)是否相互独立。解:(1),。(3分)(2) (3分)(3)因为,不相互独立。(1分)1、盒子里有3只红球,2只白球,在其中不放回任取2次,每次任取1只。定义随机变量,求(1)二维随机变量的联合分布律;(2)求;(3)是否相互独立。解:(1),(3分)(2) (3分)(3)因为,不相互独立。(1分)九、二维连续型随机变量的分布4、设随机变量与相互独立且均服从区间上的均匀分布, ;4、设的联合密度为 (1)求常数;(2)求落入以为顶点的正方形内的概率;(3) 是否独立?解:(1) 因为,所以。 (2分)(2)。
18、 (2分)(3) , ,所以 ,相互独立. (3分)2、设二维随机变量的概率密度为试求(1)边缘密度函数,;(2)。 解:(1) (4分)(2) (2分)3、设和是相互独立的随机变量,在上服从均匀分布,的概率密度函数为求(1)和的联合概率密度函数; (2)设含有的二次方程,求有实根的概率(已知,根据需要选用)。解: 的概率密度函数为(1)因为和是两个相互独立的随机变量,所以和的联合概率密度函数为(3分)(2)二次方程有实根的充要条件为,即,所求概率为。(8分)4、向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立,且均服从分布. 求(1)命中环形区域的概率;(2)命中点到目标
19、中心距离的数学期望. 解: (1) ;(4) (2) (3) . 2、已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为求(1);(2)。解:(1) (3分) (3分)十、二维随机变量的函数的分布5、设随机变量与相互独立且均服从区间上的均匀分布,则为_1/9_ _;6、设随机变量和相互独立,且均服从区间的均匀分布,则= 3/4 ;6、设和相互独立,且均服从0-1分布,则= 1/4 ;5、假设甲乙两同学进教室的时间与相互独立且均服从区间上的均匀分布,则 3/4 ;2、设系统由两个相互独立的子系统和连接而成,其寿命分别为和,已知它们的概率密度分别为和 求(1)子系统和串联时;(2)子系统和并联时系统的寿命的概
20、率密度。解:和的分布函数分别为和(3分)(1)串联时,其分布函数为,所以概率密度为(2分)(2)并联时,其分布函数为,所以概率密度为(2分) 2、若相互独立,服从上的均匀分布,的概率密度为 求的概率密度。解:由卷积公式,要使被积函数,必须,(1分)所以对或,有;(2分)对,有,(2分)对,有,(2分)十一、随机变量的数字特征7、随机变量和的方差分别为和,相关系数,则=_7_;3设随机变量,则和相互独立的充分必要条件是。4设,则(A)2.2 . (B)3.2 . (C)4.6. (D) 4.2. ( B )3、设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是( B ) (A)与独立. (B). (C).
21、 (D). 3、设随机变量和相互独立,则下列结论中不正确的是( A ) (A); (B); (C); (D)与不相关;4、设连续型随机变量的概率密度为,则( C )(A) 0 ; (B) 1; (C) ; (D) ; 5、设随机变量与相互独立,其方差分别为6和3,则( D ) (A)9; (B)15; (C)21; (D)27;3、随机变量的分布函数是,则的数学期望为 2/3 ;2、已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数为(1)求;(2)求。解:(1)因为,所以。(4分)(2)。(4分)1、二维随机变量的具有联合概率密度函数 求.解: (2分) (4分) (6分) (8分)2、设随机变量相互
22、独立且都服从上的均匀分布,求和的数学期望。解:因为的密度均为,所以(1)(2分),随机变量的数学期望(4分) (2) (6分)所以随机变量的数学期望(8分)2、已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为试求:数学期望和。解: (3分) (2分)十二、 大数定律与中心极限定理4设随机变量的期望与方差分别为,则用切比雪夫不等式估计下面概率值_8/9_。7、若随机变量,则利用切比雪夫不等式估计概率 7/9 ;7、若随机变量,则利用切比雪夫不等式估计概率;1、设行宫市场上某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量(kg),已知在区间上服从均匀分布,黄瓜的进价为3元/kg,当天卖出价为5元/kg,若当天没有卖出,则
23、第二天必须卖出,且卖出价为2元/kg。(1)设为菜贩进的黄瓜数量,求菜贩的收益期望值;(2)菜贩每日进黄瓜数量为多少时,能赚到的钱最多,能赚到多少钱.解:设某菜贩每天能卖出的黄瓜量为随机变量(kg),则的密度函数为菜贩的收益为随机变量(元),则(1),(2),代入得期望收益为即每日进黄瓜数量为83.3kg时,期望收益最大,为133.33元。1、有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米。现从木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根小于3米的概率。(已知,根据需要选用。)解:因为木柱中80%的长度不小于3米,所以其小于3米的概率为0.2,设为100根木柱中长度小于3米的根数,则,其分
24、布律为,(6分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (5分)1(本小题7分):有一批梧桐树苗,其中90%的高度不低于3米。现从树苗中随机地取出300株,问其中至少有30株低于3米的概率。(已知,根据需要选用。)解:因为树苗中90%的高度不低于3米,所以其低于3米的概率为0.1,设为300株树苗中高度低于3米的株数,则,其分布律为,(3分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (7分)1(本小题7分):某校大一新生中90%的年龄不小于18岁。现从这些新生中随机地抽查300名,问其中至少有30名小于18岁的概率。(已知,根据需要选用。)解:因为新生中90%的年龄不小于18岁,所以任取一名学生其小于18岁的概率为0.1,
25、设为300名新生中小于18岁的人数,则,分布律为,(3分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (4分)1、某蛋糕店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出的一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0.6。若售出300只蛋糕,求售出价格为1.5元的蛋糕多于30只的概率。解:售出的300只中,价格为1.5元的个数服从二项分布,(2分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (4分)六、(本小题9分):某超市有三种矿泉水出售,由于售出哪一种矿泉水是随机的,因而售出的一瓶矿泉水的价格是一个随机变量,它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0
26、.6。若售出300瓶矿泉水,求售出价格为1.5元的矿泉水多于30瓶的概率。解:售出的300瓶中,价格为1.5元的个数服从二项分布,(4分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (5分)六、(本小题9分):某超市有三种牛奶出售,由于售出哪一种牛奶是随机的,因而售出的一袋牛奶的价格是一个随机变量,它取1元、1.5元、2.0元各个值的概率分别为0.3、0.1、0.6。若售出300袋牛奶,求售出价格为1.5元的牛奶多于30袋的概率。解:售出的300袋牛奶中,价格为1.5元的袋数服从二项分布,(4分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (5分)六、(本小题9分):对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是
27、一个随机变量,其期望值是2,方差是1.69. 求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。注:.解:第次命中目标的炸弹数为,100次轰炸命中目标的炸弹数为,则近似服从正态分布,(4分)用棣莫佛-拉普拉斯定理, (5分)十三、 统计量的分布及数字特征6、若且与相互独立,则;6、若且与相互独立,则 t(n) ;6设随机变量,则。8、若总体,则样本均值;。8、若总体,则样本方差的期望;7、设样本为来自总体的样本,若服从自由度为2的分布,则 1/3 。7、设样本为来自总体的样本,则服从。6、设样本为独立同分布的标准正态随机变量,令,则服从 ;8设总体,为来自的样本,则下列结论中正确的是
28、(A). (B).(C). (D). ( D )6、若为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则(C )(A);(B);(C);(D);6、若为来自总体的简单随机样本,为样本均值,则下列统计量服从标准正态分布的是(C )(A); (B); (C); (D);十四、估计量的评选标准7判断未知参数估计量的三个标准为无偏性、有效性、相合性。5、下列不是评价估计量三个常用标准的是( D )无偏性; 有效性; 相合性; 正态性。9. 设总体的数学期望为,为来自的样本,则下列结论中正确的是 (A)是的无偏估计量. (B)是的极大似然估计量.(C)是的相合(一致)估计量. (D)不是的估计量. (
29、 A )5、设是参数的无偏估计、且相互独立,以下估计量中最有效的为 ( D ); ; ; .7、总体是取自总体的一个样本,下列四个估计量均为的无偏估计,则其中最有效的是 ( D ); ; .十五、参数估计7、总体的分布律 .已知取自总体的一个样本为,则参数的矩估计值是 ( A )8; 7; 6; 5.2、设总体的概率密度为 试用来自总体的样本,求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解:先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .2、设随机变量的分布密度函数,未知。为取自总体的一个样本,(1)求的矩估计量和极大似然估计量;(2)问:与是否是的无偏估计? 为什么?(要求写出证
30、明过程)解:(1) 的矩估计量为 , (4分)的最大估计量为 (4分)(2)由于,故是的无偏估计。 (1分)由于 , 有 所以不是的无偏估计。 (2分)2、(本小题8分):设随机变量具有分布律123其中()为未知参数。已知取得了样本值,求的矩估计量和极大似然估计量。 解:,样本均值,令,得的矩估计值为 (4分)似然函数为,对数似然函数为 ,似然方程为,得的最大似然估计值为。(8分)2、(本小题10分):设随机变量具有分布函数 其中为未知参数,为来自总体的样本。求的矩估计量和极大似然估计量。 解:随机变量的密度为 (2分)先求矩估计: , 故的矩估计为 。(4分)再求极大似然估计:设为相应于样本
31、的样本值,故似然函数为 ,而 , 所以的极大似然估计为 . (4分)七、设为来自总体的一个样本,密度函数为,其中为未知参数,试求的矩估计与极大似然估计量。解:(1) ,解得,以代替得,的矩估计是。 (3分) (2)作似然函数, 当时,取对数得, 求导,令其等于零解得,所以是的最大似然估计量。 (3分)七、(本小题9分):设随机变量具有概率密度函数 其中为未知参数,为来自总体的样本。求的矩估计量和极大似然估计量。 解:先求矩估计量:,所以故的矩估计量为 。 (4分)再求极大似然估计:设为相应于样本的样本值,故似然函数为,当时,取对数得 ,令,解得。 所以的极大似然估计量为 . (5分)七、(本小
32、题9分):设随机变量具有概率分布函数 其中为未知参数,为来自总体的样本。求的矩估计量和极大似然估计量。 解:的概率密度为 (2分)先求矩估计量:,所以故的矩估计量为 。 (3分)再求极大似然估计:设为相应于样本的样本值,故似然函数为,当时,取对数得 ,令,解得。 所以的极大似然估计量为 十六、 区间估计与假设检验10、已知灯泡寿命,今抽取25只灯泡进行寿命测试,得样本小时,则的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) ()。10、已知一批零件的长度(单位cm)服从正态分布,今从中随机地抽取16零件,得到长度的平均值为40cm,则的置信度为95%的置信区间是 (39.51,40
33、.49) ()。7、假设防灾科技学院男生身高,随机测得16人身高,得(cm),(cm),未知,则的置信度为0.95的置信区间() 。3、(本小题7分)某批矿砂的5个样品中的金含量,测定结果为,再假设测定总体服从正态分布,但参数均未知。问在下能否接受假设:这批矿砂的金含量均值为3.25。(已知,根据需要选用)。解:测定值,均未知,关于均值的假设检验,用检验法。提出假设:, (2分)选取检验统计量:当原假设为真时,检验统计量为,(4分)由于显著性水平为,故拒绝域为;(5分)现在,的观测值为,(6)所以,接受原假设. (7)八、(本题6分)打包机装糖入包,每包标准重为100斤,每日开工后,要检验所装糖包重量的总体期望值是否合乎标准(100斤)。某日开工包糖,称得重量如下(单位斤):99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,计算得=99.98,s=0.685,已知所装糖包的重量服从正态分布,问该天打包机所装糖包是否合乎标准?(,)解:设糖的每包重量为,则,由题意,均未知,要检验假设 (2分)因为方差未知,所以选取统计量 (1分)的拒绝域为 (2分)而-0.086 ,未落入拒绝域,所以接受 可以认为该天打包机所装糖包合乎标准。 (1分)
限制150内