届高考数学一轮复习第七章立体几何第五节空间向量及其应用课时规范练理含解析新人教版.doc
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1、第七章 立体几何 第五节 空间向量及其应用A组基础对点练1(2021河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角PBCA的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A BC D解析:取BC的中点O,连接OP,AO,因为ABC和PBC均为等边三角形,所以AOBC,POBC,所以POA是二面角PBCA的平面角,即POA120,过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D,连接PD,则PBD或其补角是异面直线PB和AC所成的角,设ABa,则PBBDa,POPDa,所以cos PBD.答案:A2(2020河南示范性高中第二次联考)某三棱锥PABC的三视图
2、如图所示,P,A,B,C在三视图中所对应的点分别为P,A,B,C,则二面角 ABCP的余弦值为()A BC D解析:三棱锥PABC如图所示,作ADBC,垂足为D,连接PD,易知ADP是二面角ABCP的平面角,因为ABAC,AB4,AC3,所以BC5,则AD.又PA平面ABC,AD平面ABC,所以PAAD,所以PD,从而cos ADP.答案:D3(2020河北示范性高中联合体联考)正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个,记这3个点分别为E,F,G,则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为()A BC D解析:正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1
3、B与CC1的距离相等的点分别为D1,BC的中点,B1C1的四等分点(靠近B1),不妨设D1与G重合,BC的中点为E,B1C1的四等分点(靠近B1)为F.以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,设AB2,则E(1,2,0),F,G(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),从而,AC1(2,2,2).设平面EFG的法向量为n(x,y,z),则nn0,即x2zx2y0,令x4,得n(4,3,1).设直线AC1与平面EFG所成角为,则sin |cos n,AC1|.答案:D4已知在直二面角l中,A,B,A,B都不在l上,AB与所成的角为x,AB与所成的角为y,AB与l所成的角
4、为z,则cos2xcos2ysin2z的值为()A B2C3 D解析:过点A,B分别作ACl,BDl,垂足分别为C,D,过点B作直线平行于l,过点C作直线平行于BD,两直线交于点E,连接AD,BC,AE(图略).因为二面角l为直二面角,BD,l,BDl,所以BD.同理AC.又BAD,ABC分别为AB与平面,所成的角,所以有BADx,ABCy.因为BEl,所以EBAz.因为ECBD,所以ECl,又AC,所以ACl,所以l平面AEC,所以AEl,即AEBE,所以cos2xcos2ysin2z2.答案:B5已知平面,且与的距离为d(d0),m,则在内与直线m的距离为2d的直线共有_条解析:由题意得平
5、面内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线,半径为2d的圆柱面与平面的交线,易知交线有2条答案:26.如图所示,已知AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上若PAAB2,ACBC,则二面角PACB的正切值是_解析:取AC的中点D,连接OD,PD(图略),则ODAC,PDAC,PDO是二面角PACB的平面角PAAB2,ACBC,PO,OD,二面角PACB的正切值tanPDO.答案:7.如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的
6、正弦值解析:(1)证明:由已知可得BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)如图所示,作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE.又PF1,EF2,所以PEPF,所以PH,EH,则H(0,0,0),P,D,.又为平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为,则sin ,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.B组素养提升练1如图所示,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形,AA14,A
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