【课堂新坐标】2021届高考数学二轮复习 考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 理.doc
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1、考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2013四川高考理科6)抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )(A) (B) (C) (D)【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B,由抛物线的焦点,双曲线的一条渐近线方程为,根据点到直线的距离公式可得,故选B.2.(2013山东高考文科11)与(2013山东高考理科11)相同抛物线C1:y=x2(p0)的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(
2、 ) A. B. C. D.【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为.抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.,所以在处的切线斜率为,即,所以,即三点,共线,所以,即.二、填空题3. (2013江西高考理科14)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=_.【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知ABF的高为P,可构造p的方程解决.【解析】由题意知ABF的高为P,将代入双曲线方
3、程得A,B两点的横坐标为,因为ABF为等边三角形,所以,从而解得,即.【答案】6.4.(2013安徽高考理科13)已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为_【解题指南】 点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆,数形结合可得。【解析】联立直线与抛物线得,满足题设条件的点C的轨迹是以为圆心,为半径的圆,其方程为。由数形结合可知当时满足题设要求,解得。【答案】.三、解答题5.(2013北京高考理科19)已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积.(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能
4、为菱形,并说明理由.【解题指南】(1)利用OB的垂直平分线求出AC的长,再求面积;(2)若是菱形,则OA=OC,A点与C点的横坐标相等或互为相反数。【解析】(1)线段OB的垂直平分线为,或,所以菱形面积为|OB|AC|=2=.(2)四边形OABC不可能是菱形,只需要证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.设OA=OC=r(r1),则A、C为圆与椭圆的交点.,,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等,此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.6.(2013江西高考文科20)椭圆C:(ab0)的离心率,a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P
5、是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.【解题指南】(1)借助椭圆中的关系及两个已知条件即可求解;(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.【解析】(1) 因为,所以,又由得,代入a+b=3,得.故椭圆C的方程为.(2)方法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为,将代入,解得P.直线AD的方程为:. 联立解得M.由D(0,1),P,
6、N(x,0)三点共线可知,即,所以点.所以MN的斜率为m,则(定值).方法二:设,则,直线AD的方程为,直线BP的方程为,直线DP的方程为.令y=0,由于,可得.解可得M,所以MN的斜率为=.故(定值).7. (2013广东高考文科20)已知抛物线的顶点为原点,其焦点()到直线:的距离为. 设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1) 求抛物线的方程;(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;(3)当点在直线上移动时,求的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体,考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中,抛物线的性质需要熟练运用.【解析】(
7、1)因为到直线:的距离为,即,所以(注意),可得抛物线的方程为;(2)设切点,则.对(即)求导可得,切线的斜率为,将和代入整理可得,同理切线的斜率为,将和代入整理可得,由可得点都适合方程,也就是当点为直线上的定点时,直线的方程即为.(3)由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离,所以,.联立方程,消去整理得,由一元二次方程根与系数的关系可得,,所以.又,则,所以当时, 取得最小值,且最小值为.8. (2013广东高考理科20)已知抛物线的顶点为原点,其焦点()到直线:的距离为. 设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1) 求抛物线的方程;(2)当点为直线上
8、的定点时,求直线的方程;(3)当点在直线上移动时,求的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体,考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中,抛物线的性质需要熟练运用.【解析】(1)因为到直线:的距离为,即,所以(注意),可得抛物线的方程为;(2)设切点,则.对(即)求导可得,切线的斜率为,将和代入整理可得,同理切线的斜率为,将和代入整理可得,由可得点都适合方程,也就是当点为直线上的定点时,直线的方程即为.(3)由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离,所以,.联立方程,消去整理得,由一元二次方程根与系数的关系可得,,所以.又,则,所以当时, 取得最小值,且最小值为.
9、9. (2013重庆高考理科21)如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,()求该椭圆的标准方程;()取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外若,求圆的标准方程【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆外且求出圆的方程.【解析】()设椭圆方程为+=1(ab0),由题意知点在椭圆上,则从而由,得从而故该椭圆的标准方程为()由椭圆的对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则.设,由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当时取最小值,又因为,所以上式当时取最小值,从而,且因
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