【课堂新坐标】2021届高考数学二轮复习 考点43 直线与圆锥曲线的位置关系 理.doc
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1、考点43 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. (2013新课标高考文科8)为坐标原点,为抛物线:的焦点,为C上一点,若,则POF的面积为( )A.B.C.D.【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选C.设,则,解得,因为为C上一点,则,得 ,所以.2.(2013江西高考文科9)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= ( )A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.
2、【解析】选C.设直线FA的倾斜角为,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA的斜率为,即,过点M作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得,在中,可得,即|FM|:|MN|=.3. (2013重庆高考文科10)设双曲线的中心为点,若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A. B. C. D.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,所以渐近线斜率满足,解
3、得.故选A.4. (2013新课标高考理科10)已知椭圆的右焦点,过点的直线交于,两点,若的中点坐标为,则的方程为( )A. B. C. D. 【解题指南】本题中给出的中点坐标,所以在解题时先设出,两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆得,因为过点的直线与椭圆交于,两点,设,,则,则 由-得,化简得., 又直线的斜率为,即.因为,所以,解得,.故椭圆方程为.二、解答题5.(2013安徽高考理科18)设椭圆的焦点在轴上()若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;()设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。【解析】(1)因为焦距为
4、1,所以,解得,从而椭圆E的方程为.(2) 设,其中,由题设知,则直线的斜率,直线的斜率,故直线的方程为, 当x=0时,即点Q坐标为,因此直线的斜率。由于,所以化简得 将 代入椭圆E的方程,由于点在第一象限,解得,即点P在定直线x+y=1上。6. (2013天津高考文科18) 与(2013天津高考理科18)相同设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【解题指南】()由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a,
5、b的值,写出椭圆方程. ()写出过点F且斜率为k的直线方程,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系表示求解.【解析】()设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又,从而,所以椭圆方程为. ()设,由得直线CD的方程为由方程组消去y,整理得 可得因为所以由已知得,解得7.(2013北京高考文科19)直线y=kx+m(m0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点。(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C
6、的坐标,再求AC的长.(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】(1)线段OB的垂直平分线为,因此A、C点的坐标为,于是AC的长为。(2)只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r(r1),则A、C为圆与椭圆的交点。, ,点与C点的横坐标互为相反数或相等,此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。8. (2013新课标全国高考理科20)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(ab0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(1)求M的方程(2)C,
7、D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值【解题指南】(1)涉及到弦AB的中点问题,考虑点差法,建立关于a,b的方程组,解得a,b的值,确立M的方程;(2)将四边形的面积表示出来,可转化为S,然后利用函数的知识求最值.【解析】设,则, ,-得.因为,设,因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以,即,所以可以解得,即,即,又因为,所以,所以M的方程为.(2)因为,直线AB的方程为,所以设直线CD方程为,将代入得:,解得 不防令、B,所以可得,将代入得:,设,则又因为,即,所以当时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为9. (2013辽宁高考文科2
8、0)与(2013辽宁高考理科20)相同如图,抛物线点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于).当时,切线的斜率为。求的值;当在上运动时,求线段的中点的轨迹方程(重合于,中点为).【解题指南】利用导数的几何意义,求切线的斜率,建立相关参数的方程求参数;根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系,消去相关点的坐标,可得轨迹方程。【解析】设,则已知切线在抛物线上的切点为,由导数的几何意义得,所以从而故点由点斜式得切线的方程:由于点在抛物线上,又在切线上,所以得将代入上述方程组,即得故的值为2.设又点在抛物线上,则,由于为线段的中点,所以 切线的方程分别为: 由得切线得交点的坐标 又由于点在
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