多目标规划ppt课件.ppt
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1、眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观多目标规划是数学规划的一个分支。多目标规划是数学规划的一个分支。研究研究多于一个的目标函数多于一个的目标函数在在给定区域给定区域上的最优化。又称多上的最优化。又称多目标最优化。通常记为目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多个目标
2、来比较,而这些目标有时不甚协判断,而需要用多个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。调,甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国年法国经济学家经济学家V.帕雷托最早研究帕雷托最早研究不可比较目标的优不可比较目标的优化问题,之后,化问题,之后,J.冯冯诺伊曼、诺伊曼、H.W.库恩、库恩、A.W.塔克、塔克、A.M.日夫里翁等日夫里翁等数学家做了深入的探讨数学家做了深入的探讨,但是,但是尚未有一个完全尚未有一个完全令人满意的定义令人满意的定义。多目标规划方法多目标规划方法 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼
3、睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观求解多目标规划的方法大体上有以下几种:求解多目标规划的方法大体上有以下几种:一种是一种是化多为少的方法化多为少的方法,即把多目标化为比较容易求解的即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标,如主要目标法、线性加权法、理想点法单目标或双目标,如主要目标法、线性加权法、理想点法等;等;另一种叫另一种叫分层序列法分层序列法,即把目标按其重要性给出一个序列,即把目标按其重要性给出一个序列,每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解,直到每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解,直到求出共同的最优解。求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法
4、外还可以适当对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形修正单纯形法法来求解;还有一种称为来求解;还有一种称为层次分析法层次分析法,是由美国运筹学家,是由美国运筹学家沙旦于沙旦于70年代提出的,这是一种定性与定量相结合的多目年代提出的,这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法,对于目标结构复杂且缺乏必要的数据标决策与分析方法,对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。的情况更为实用。眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 多目标规划模型多目标规划模型(一)任何多目标规划问题,都由两个基本部分组成:(一)任
5、何多目标规划问题,都由两个基本部分组成: (1 1)两个以上的目标函数;)两个以上的目标函数; (2 2)若干个约束条件。)若干个约束条件。 (二)对于多目标规划问题,可以将其数学模型一般地描(二)对于多目标规划问题,可以将其数学模型一般地描写为如下形式:写为如下形式: 一一 多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解 )(max(min)(max(min)(max(min)(XfXfXfXFZk21 mmgggGXXXX2121)()()()(s.t. 式中: 为决策变量向量。 TnxxxX,21 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中
6、情况都不容乐观)(max(min)XFZ GXts )(.缩写形式:缩写形式:有有n个决策变量,个决策变量,k个目标函数,个目标函数,m个约束方程,个约束方程,则:则:Z=F(X)是是k维函数向量,维函数向量, (X)是是m维函数向量;维函数向量;G是是m维常数向量;维常数向量;(1)(2)眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 对于线性多目标规划线性多目标规划问题,可以进一步用矩阵表示:CXZ max(min)bAX s.t. 式中:式中: X X 为为n n 维决策变量向量;维决策变量向量; C C 为为k kn n
7、矩阵,即目标函数系数矩阵;矩阵,即目标函数系数矩阵; A A 为为m mn n 矩阵,即约束方程系数矩阵;矩阵,即约束方程系数矩阵; b b 为为m m 维的向量,即约束向量。维的向量,即约束向量。 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观多目标规划的非劣解多目标规划的非劣解 多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化(最大或最小),而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题,求解就意味着需要做出如下的复合选择: 每一个目标函数取什么值,原问题可以得到最满意的解决? 每一个决策变量取什么值,原问题可以得到最满意的解决 ?)(
8、max(min)XFZ GX )(s.t.眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 在图在图1中,中,max(f1,f2).就就方案方案和和来说,来说,的的f2目标值比目标值比大,但其目大,但其目标值标值f1比比小,因此无小,因此无法确定这两个方案的优法确定这两个方案的优与劣。与劣。在各个方案之间,在各个方案之间,显然:显然:比比好,好,比比好好, , 比比好好, , 比比好好。 非劣解非劣解可以用图1说明。图图1 多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的
9、重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 而对于方案而对于方案、之间则无法确之间则无法确定优劣,而且又没有定优劣,而且又没有比它们更好的其他方比它们更好的其他方案,所以它们就被称案,所以它们就被称为多目标规划问题的为多目标规划问题的非劣解非劣解或或有效解有效解,其余方案都称为其余方案都称为劣解劣解。所有非劣解构成的集所有非劣解构成的集合称为合称为非劣解集非劣解集。 当目标函数处于冲突状态时,就不会存在使所有目当目标函数处于冲突状态时,就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解,于是我们只能标函数同时达到最大或最小值的最优解,于是我们只能寻求非劣解(又称寻求非劣解(又称非支配解
10、或帕累托解非支配解或帕累托解)。)。 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 效用最优化模型效用最优化模型 理想点模型理想点模型 约束模型约束模型 目标达到法目标达到法 目标规划模型目标规划模型二二 多目标规划求解多目标规划求解 为了求得多目标规划问题的非劣解,常常需要将为了求得多目标规划问题的非劣解,常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现去处理。实现这种转化,有如下几种建模方法。这种转化,有如下几种建模方法。眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的
11、重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观)(maxXZ GXts )(. 是与各目标函数相关的是与各目标函数相关的效用函数的效用函数的和函数和函数。 方法一方法一效用最优化模型效用最优化模型(线性加权法线性加权法) (1 1) (2 2) 思想思想:规划问题的各个目标函数可以通过:规划问题的各个目标函数可以通过一定一定的的方式方式进行进行求和求和运算。这种方法将一系列的运算。这种方法将一系列的目标函数目标函数与与效用效用函数函数建立相关关系,各目标之间通过效用函数协调,建立相关关系,各目标之间通过效用函数协调,使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题:使多目标规划问题转化为传统的单目
12、标规划问题: 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观在在用效用函数作为规划目标用效用函数作为规划目标时,需要确定一组时,需要确定一组权值权值 i 来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重,即来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重,即: kiii1max ), 2 , 1(),(21migxxxini kii11 T maxGXts )(.式中, i 应满足:向量形式:眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观方法二方法二理想点模型理想点模型(罚款模型
13、)(罚款模型) 思想思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值期望的值(或称(或称满意值满意值););通过比较实际值通过比较实际值fi与期望值与期望值fi*之间的偏差来选择问题的之间的偏差来选择问题的解,其数学表达式如下:解,其数学表达式如下:i 21)(min kiiiiffZ ), 2 , 1(),(21migxxxini 或写成矩阵形式:)()(min FFAFFZTGX )(式中,式中,是与第是与第i个目标函数相关的个目标函数相关的权重权重;A是由是由(i=1,2,k)组成的组成的mm对角矩阵。对角矩阵。i 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的
14、感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观理论依据理论依据 :若规划问题的:若规划问题的某一目标某一目标可以给出一个可供选可以给出一个可供选择的范围,则该目标就可以择的范围,则该目标就可以作为约束条件作为约束条件而被排除出目标而被排除出目标组,进入约束条件组中。组,进入约束条件组中。假如,除第一个目标外,其余目标都可以提出一个可供选假如,除第一个目标外,其余目标都可以提出一个可供选择的范围,则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划择的范围,则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题:问题: 方法三方法三 约束模型约束模型(极大极小法极大极小法) ),(max
15、(min)211nxxxfZ ), 2 , 1(),(21migxxxini ), 3 , 2(maxminkjfffjjj 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观方法四方法四 目标达到法目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式:首先将多目标规划模型化为如下标准形式: )()()(min)(min21XfXfXfxFk 000)()()()(21XXXXm 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观在求解之前,先设计与目标函数相应的一组目标值理想在
16、求解之前,先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标化的期望目标fi*(i=1,2,k),每一个目标对应的权重系数为每一个目标对应的权重系数为 i*(i=1,2,k),再设再设 为一松弛因子。为一松弛因子。那么,多目标规划问题就转化为:那么,多目标规划问题就转化为: ,minX), 2 , 1(,)(*kifXfiii ), 2, 1(0)(miXi )()()(min)(min21XfXfXfxFk 000)()()()(21XXXXm 眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观目目标标规规划划(Goalprogram
17、ming)目标规划的数学模型目标规划的数学模型目标规划的图解法目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划的单纯形法目标规划概述目标规划概述眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观目标规划是在线性规划的基础上,为适应经济管理目标规划是在线性规划的基础上,为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 2 2、线性规划求最优解;目标规划是找到一个满意解。、线性规划求最优解;目标规划是找到一个满意解。 1 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约、线性规划只讨论一个线性
18、目标函数在一组线性约束条件下的极值问题;而目标规划是多个目标决策,可束条件下的极值问题;而目标规划是多个目标决策,可求得更切合实际的解。求得更切合实际的解。一、目标规划概述一、目标规划概述(一)、目标规划与线性规划的比较(一)、目标规划与线性规划的比较眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 4 4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优,但需花、线性规划的最优解是绝对意义下的最优,但需花去大量的人力、物力、财力才能得到;实际过程中,去大量的人力、物力、财力才能得到;实际过程中,只要求得满意解,就能满足需要(或更能满足需要)。只
19、要求得满意解,就能满足需要(或更能满足需要)。 3 3、线性规划中的约束条件是同等重要的,是硬约束;、线性规划中的约束条件是同等重要的,是硬约束;而目标规划中有轻重缓急和主次之分,即有优先权。而目标规划中有轻重缓急和主次之分,即有优先权。目前,已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场目前,已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观例一、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两例一、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、
20、乙两种产品,已知资料如表所示。试制定生产计划,使获种产品,已知资料如表所示。试制定生产计划,使获得的利润最大?同时,根据市场预测,甲的销路不是得的利润最大?同时,根据市场预测,甲的销路不是太好,应尽可能少生产;乙的销路较好,可以扩大生太好,应尽可能少生产;乙的销路较好,可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。产。试建立此问题的数学模型。12070单件利润单件利润3000103设备台时设备台时200054煤炭煤炭360049钢材钢材资源限制资源限制乙乙甲甲单位单位产品产品资源资源消耗消耗(二)、目标规划的基本概念(二)、目标规划的基本概念眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛
21、的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观设:甲产品设:甲产品x1 ,乙产品,乙产品 x2 一般有:一般有:maxZ=70 x1 +120 x29x1+4x236004x1+5x220003x1+10 x23000 x1 , x2 0同时:同时:maxZ1=70 x1 +120 x2minZ2=x1maxZ3=x29x1+4x236004x1+5x220003x1+10 x23000 x1 , x2 0显然,这是一个多目标规划问题,用线性规划方法显然,这是一个多目标规划问题,用线性规划方法很难找到最优解。很难找到最优解。眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要
22、性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观 目标规划通过引入目标值和偏差变量,可以将目标目标规划通过引入目标值和偏差变量,可以将目标函数转化为目标约束。函数转化为目标约束。 目标值:是指预先给定的某个目标的一个期望值。目标值:是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实现值或决策值:是指当决策变量实现值或决策值:是指当决策变量x xj j 选定以后,目选定以后,目标函数的对应值。标函数的对应值。 偏差变量(事先无法确定的未知数):是指实现值偏差变量(事先无法确定的未知数):是指实现值和目标值之间的差异和目标值之间的差异, ,记为记为 d d 。 正偏差变量:表示实现值超过目标值的部分,记为正偏差
23、变量:表示实现值超过目标值的部分,记为 d d。 负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分,记负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分,记为为 d d。1 1、目标值和偏差变量、目标值和偏差变量眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容乐观当完成或超额完成规定的指标则表示:当完成或超额完成规定的指标则表示:d d0,d d0当未完成规定的指标则表示:当未完成规定的指标则表示:d d0,d d0当恰好完成指标时则表示:当恰好完成指标时则表示:d d0,d d0d dd d0 0 成立。成立。 引入了目标值和正、负偏差变量后,就对某一
24、问引入了目标值和正、负偏差变量后,就对某一问题有了新的限制,既目标约束。题有了新的限制,既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用,也可对原约束目标约束即可对原目标函数起作用,也可对原约束起作用。起作用。目标约束是目标规划中特有的,是软约束。目标约束是目标规划中特有的,是软约束。在一次决策中,实现值不可能既超过目标值又未达在一次决策中,实现值不可能既超过目标值又未达到目标值,故有到目标值,故有d dd d0,0,并规定并规定d d0,d d02 2、目标约束和绝对约束、目标约束和绝对约束眼睛是心灵的窗户,是人体中最宝贵的感觉器官,可很多孩子对眼睛的重要性不重视。在每学期的视力测查中情况都不容
25、乐观绝对约束(系统约束)是指必须严格满足的等式或绝对约束(系统约束)是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束,否则无可行解。所以,绝对约束是硬约束。约束,否则无可行解。所以,绝对约束是硬约束。例如:在例一中,规定例如:在例一中,规定Z1的目标值为的目标值为50000,正、负正、负偏差为偏差为d、d,则目标函数可以转换为目标约束,既则目标函数可以转换为目标约束,既70 x1 + 120 x2 50000,同样,若规定同样,若规定Z2200, Z3250则有则有11dd200221ddx250332ddx)3 . 2
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