随机变量函数的数学期望.doc
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1、随机变量函数的数学期望前面,我们学习了数学期望的概念,利用数学期望的定义式,可以求出随机变量的数学期望。【出现第1张PPT】在实际中,已知随机变量大X的分布,但是需要计算的不是大X的期望,而是大X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望,那么应该如何计算呢?例如,一个零件的横截面为一个圆面,其直径大X是一个随机变量,则截面面积大Y=4分之(乘X平方)也是一个随机变量。如果知道了大X的概率分布,现在需要求大Y的数学期望。这就涉及到一维随机变量函数的数学期望。问题的一般表述为:已知随机变量大X的概率分布,如何计算大X的某个函数gX的数学期望呢?【出现第2张PPT】一种方法是,因为g(X)也是随机变量
2、,故应有概率分布,它的分布可以由已知的大X的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义,把g(X)的数学期望计算出来。使用这种方法,必须先求出随机变量函数g(X)的分布,一般是比较麻烦和复杂的。能否不通过先求函数g(X)的分布,而只根据大X的分布求得g(X)的数学期望呢?答案是肯定的!【出现第3张PPT】下面,我们不加证明的给出如下定理。来看定理。设大Y为随机变量大X的函数,大Y=g大X,这里,g是连续函数。第一种情况,如果大X 是离散型随机变量,分布律为:“大X等于小xk”的概率为小pk,k等于1、2等等。如果级数g小xk乘pk,k从1到无穷,绝对收敛,则大Y的数学期望,
3、也就是g大X,这个函数的数学期望,等于g小xk乘pk,k从1到无穷。第二种情况,如果 大X 是连续型随机变量, 其概率密度为小f (x),如果g小x乘概率密度小f小x,关于小x在负无穷到正无穷上的积分绝对收敛,则大Y的数学期望,也就是函数g大X的数学期望,就等于g小x乘概率密度小f小x,关于小x在负无穷到正无穷上的积分。【出现第4张PPT】这个定理表明:求随机变量大X的函数“大Y=g大X”的数学期望时,只需要知道大X的概率分布就可以了。【出现第5张PPT】来看例题。例1,已知随机变量 大X 的分布律,()求大X的数学期望,大X平方的数学期望和3倍的大X平方+5的数学期望根据数学期望的定义,容易
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