无穷积分收敛的判别方法(北工大)ppt课件.ppt
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1、定理定理1 1(柯西收敛准则)(柯西收敛准则)ApaA 1, 0 与与,2Ap 有有.)(21 ppdxxf一、无穷积分的性质一、无穷积分的性质推论推论1 1 若无穷积分若无穷积分 收敛,则收敛,则 adxxf)(. 0)(lim dxxfpp adxxf)(无穷积分无穷积分 收敛收敛,ab 无穷积分无穷积分 bdxxf)(也收敛。也收敛。推论推论2 2 若无穷积分若无穷积分 收敛,收敛,dxxfa )( adxxf)(则无穷积分则无穷积分 也收敛。也收敛。 adxxf)(推论推论3 3 无穷积分无穷积分 收敛,收敛,定理定理2 若无穷积分若无穷积分 收敛收敛,则无穷则无穷 adxxf)(积分
2、积分 也收敛也收敛,其中其中 是常数是常数, adxxcf)(c.)()()()(dxxgdxxfdxxgxfaaa 定理定理3 3 若无穷积分若无穷积分 adxxf)(与与 adxxg)(都都收敛,则无穷积分收敛,则无穷积分 adxxcf)(.)( adxxfc且且无穷积分的分步积分与换元积分无穷积分的分步积分与换元积分定理定理4 4 设设 , ax有有),()(xcxf c c是正常数。是正常数。dxxa )( 收敛,则无穷积分收敛,则无穷积分1.1.若无穷积分若无穷积分二、无穷积分的敛散性判别法二、无穷积分的敛散性判别法发散,则无穷积分发散,则无穷积分2.2.若无穷积分若无穷积分dxxf
3、a )(dxxa )( 也发散也发散. .也收敛也收敛. .dxxfa )(证明证明1)根据定理)根据定理1,, 0aA ,21APAP 与与有有.)(21 PPdxx由不等式由不等式),()(xcxf 有有 21)(PPdxxf,)(21 CdxxCPP 无穷积分无穷积分 收敛收敛.dxxfa )(2)用反证法,根据)用反证法,根据1)可以得到矛盾。)可以得到矛盾。dxxfa )(则无穷积分则无穷积分也收敛也收敛.推论推论4 4 , ax函数函数, 0, 0)( axf且且极限极限1.1.若若,0 , 1 d 则无穷积分则无穷积分 adxxf)(收敛;收敛;,0 , 1 d 则无穷积分则无穷
4、积分 adxxf)(发散。发散。2.2.若若dxfxx )(lim ).0( d(1)证明证明1)由由(1)式,式,, 0, 00AxA 有有0)( dxfx,)(00 dxfxd或或则则 .1)(100 xdxfxd 当当 时,无穷积分时,无穷积分 收敛。收敛。1 adxx 1则无穷积分则无穷积分 收敛。收敛。 adxxf)(2)当)当 时,由时,由(1)式,式, d0, 0, 00AxAd 使使 有有 )(10 xfxd ),(110 xfdx 或或已知已知, 1 无穷积分无穷积分 发散,则发散,则 axdx adxxf)(发散。发散。当当, d由由(1)式,式,, 0, 0AxAB 有有
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