第五章-平面问题有限元分析ppt课件.ppt
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1、5-1引言在有限元法中,把单元与单元之间设置的相互连接点,称为结点。一般用号码1、2、进行结点编号。结点可为铰接、固接或其它形式的连接。结点的设置、性质及数目等均视所研究问题的性质、描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定。在有限元法中引进结点概念是至关重要的。有了结点,才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构,从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的教学模型。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元模型。它是有限元分析与计算的对象。 5-1-1 结构离散化1、单元划分类型单元划分类型 单元类型:三角形单元、四边形单元 单元数目:根据计算精度要求来确定结点设
2、置:使单元的的结点编号尽量靠近有限元模型:由单元、结点、结点连线构成的集合2、 离散化时应注意的问题离散化时应注意的问题 相邻单元的尺寸尽可能相近;同一单元的最大和最小尺寸之比尽可能接近1,不宜过大;应使全部单元中相关结点的结点编码差值为最小;单元划分时内部每个结点所连接的单元数应尽量相等连续介质的离散连续介质的离散 对于二维连续介质,以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例,用有限单元法进行分析的步骤如下: (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元,这些直线是单元的边界,几条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接,结点位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通
3、过位移函数,用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变;再利用广义虎克定律,用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。 (5)利用能量原理,找到与单元内部应力状态等效的结点力,再利用单元应力与结点位移的关系,建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载,按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程,得到一个线性方程组:解出这个方程组,求出结点位移,然后可求得每个单元的应力。 连续介质的有限单元分析包含三个基本方面:介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。3、位移函数位移函数在选择多项式时,为了使有限单元法的计算精度和收敛性得到保障,还
4、需要满足完备性和连续性的要求。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态,它应满足下列条件:(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移;(2)位移模式必须能反映单元的常量应变;(3)位移模式应尽可能地反映位移的连续性。弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。 .26524321yaxyaxayaxaau.26524321ybxybxbybxbbv5-1-2 平面问题的总势能表达式将第二章的原理用于平面问题单元分析时,其总势能表达式为 式中相对第二章所讲的总势能表达式多了一项 ,它是单元结点力的外力势能。从整体分析角度,由于结点平衡单元结点力是不出现的,因此有的数上没有这一项,但从最小势
5、能原理作为单元分析和整体分析的推导来说,应该包括这一项。12TTTeTePbSAALEdAdAdA F dF dF eTeF (5-1)5-2常应变三角形单元三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元,由于以三角形的三个顶点作为结点,因此又成为三结点三角形单元。这种单元的计算精度较低,使用的时候必须进行精细的网格划分,但他仍然是一种常用的单元5-2-1 单元结点位移和结点力yxOijkbxFbyFiuiviyFixFkukvkyFkxFjujvjyFjxF图5-2为任一的典型单元。单元局部坐标结点编号记作1,2,3逆时针进行标记,其对应的整体结点编号记作 ,。由于平面问题局部坐标和整体坐标
6、是一致的,因此没有坐标转换问题,故也可只标记整体编号以便形成点位向量,如图所示单元每个结点有两个位移分量,称作结点位移,记作ij k图5-2 常应变三角形单元iiiuv(5-2)将三个结点位移按结点编号排在一起称为单元结点位移记作:TeTTTijk(5-3)与结点位移相对应,每个结点上受有2个其他单元对它作用的力,称为结点力,记作TeTTTijkFFFFixiiyFFF将三个结点力按结点编号排在一起称为单元结点力记作:(5-4)(5-5)单元上作用的体积力记为bxebbyFFF(5-6)若单元的边界是物体边界,并且该边界有表面力的话,该表面力记作:SxeSSyFFF(5-7)体积力和表面力表达
7、式找中矩阵元素均是沿坐标方向的分布荷载集度。5-2-2 用面积坐标建立单元位移场1、面积坐标的定义面积坐标的定义 设P为三角形单元中的一点,与三个顶点 , , 相连,则可将 分割3小块,如图5-3a所示,分别记这三个小三角形面积为jkikAiAjAPijkijk图5-3a 面积坐标示意iPjkjPikkPjiAAAAAA对于三角形单元,完全可以同杆系单元一样,在直角坐标下采用广义坐标法建立形函数及单元位移场。但下面将引入的面积坐标除了也可确定点的位置外,对三角形单元的分析具有许多优越性,因此首先介绍面积坐标。jkiP图5-3b 面积坐标示意则显然存在如下恒等关系等坐标轴线 有图5-3b可见,P
8、点位置除了可用直角表示外,也可以用 , , 中的任意两个来确定。等坐标轴线等坐标轴线kAiAjAijkijkAAAAA(5-8)kAiAjA 若令1(, , )lALli j kA(5-9)那么P点位置就可用量纲参数 , , 中的两个来确定,因此 可以作为确定点位置的一种坐标方法。因此 是根据面积来定义的,故称 , , 为面积坐标。kA常数kLjLiLijl, ,lL li j kkLjLiL 由上述定义可见:面积坐标是一种固定于单元的局部坐标,它具有如下性质: Li+Lj+Lk=1; 当P在结点 时, ;当P在结点 所对的边线上时 ; 当P在与 边平行的直线上时, , ,因此称这些直线为等坐
9、标线,如图5-3b所示。l1, ,lLli j k0lL lL 常数 若以Li和Lj构成面积坐标系,则单元面积坐标系中的图形是个直角边为1的等腰直角三角形,如图5-4所示。三个结点的面积坐标分别为:1( ) i2( ) j11iLjL3( )k图5-4 面积坐标下的单元结点 :结点 :结点 :单元的三条边线方程为:单元形心处的坐标为ijk10ijkLLL10jikLLL10kijLLL000kijijLjkLikL边;边;边13kijLLL2、面积坐标与直角坐标之间的关系面积坐标与直角坐标之间的关系 单元面积 为11121ijjkkxyAxyijkixy脚标轮换规则为 设P点坐标(x,y),则
10、有数学可知,三块小面积为11121iijjkkxyAxyxyijkA 因此有111111212,()jjjjiikkkkiiiiiijkkjijkikjiyxxyALxyyxxyAAab xc yijkAa b cax yx ybyyijkicxx式中分别为(5-10) 若将式(5-10)写成矩阵关系,则有112iiiijjjjkkkkLabcLabcxALabcy(5-11) 由式(5-11)可求得1111iijkjijkkLxxxxLyyyyL(5-13)(5-12) 即0ijkiijjkkiijjkkLLLxL xL xL xyL yL yL y式(5-10)和式(5-13)即为两种坐标
11、系间的变换关系 建立了坐标系间的转换关系,则按求导法则可得1212ijkijkijkijkbbbxALLLcccyALLL(5-13) 利用数学知识 可以证明! ! !2(2)! !()1 !ijijkVijilSL L L dVtAL L dStlijjkki 1kijLLL (和分部积分)(5-15)(5-14) 式中 , , 为面积坐标的幂, 为 边的长度, 为平面问题板厚。这些公式将在今后研究三角形单元等参单元计算中应用。ijLijt3、常应变三角形单元的位移场常应变三角形单元的位移场 由形函数的性质可知,本结点为1,它结点为零,在单元内任一点全部形函数和均为1.而面积坐标的性质正好与
12、形函数的性质相同,所以常应变三角形单元的形函数可取面积坐标,即 由此可得形函数矩阵为 其中1()2iiiiNab xc yijkiA222000()000ijkijkijkNNNNNNNNNNIII,iijjkkNL NL NL(5-15)(5-18)(5-17)2I为二阶单位矩阵 有了形函数矩阵,则单元内任意一点的位移可表示为:euv dN附、附、广义坐标法广义坐标法位移函数位移函数对三角形单元,假定单元内的位移分量是坐标的线性函数( , )123uu x yxy546( , )vv x yxy 则 有123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy 546iiivxy546jjjvx
13、y546mmmvxy 1利用线性代数中解方程组的克来姆法则, 可解出待定常数11AA22AA33AA 式中行列式: 1iiijjjmmmuxyAuxyuxy2111iijjmmuyAuyuy3111iijjmmxuAxuxu2111iijjmmAxyAxyxy A为ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:11()2m mi ijjaua ua uA21()2m mi ijjbub ub uA31()2m mi ijjcuc uc uA mmijjax yx ymmjiiax yx ymijj iax yx ymijbyymjibyymijbyymijcxxmjicxxmjicxx式中: 为
14、了书写方便,可将上式记为:()jmmjijmimjiax yx ybyyijmicxx整理上式后可得: ( , )( , )( , )mmiijjuN x y uN x y uNx y u( , )( , )( , )mmiijjvN x y vN x y vNx y v 同理: 式中: 1()()2iiiiNabx c yijmiA 将三角形单元的位移函数用矩阵表示: vuivuvum 0 j 0 i 0 0 m 0 j 0 mjiimNNNNNNvuid evuNd或 例题5-1 试求图5-5所示等腰直角三角形单元的形函数矩阵N。a2a13xy图5-5 等腰直角三角形单元212332123
15、13222311323121331221312321111122223333123120,0,0,012112120000Aaax yx ybyycxxaax yx ya byya cxxaax yx ybyya cxxyNab xc yAaxyNab xc yAaxNab xc yAaNNNN N由此可得形函数矩阵1230100000010yxyxaaaNNyxyxaaa l应变根据单元的位移场函数式(5-20),由几何方程可以得到单元 的应变场表达式:00 xTyxyuxxvyyuvyxyxdA d(5-21)式中微分算子矩阵A为00 xyyxA=(5-22)5-2-3 基于最小势能原理的
16、单元分析TeeA NBBB000000jikjikjjiikkijkNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyxB =BBB010(, ,)2rrrrrbcri j mAcbB其中,矩阵称为几何矩阵。矩阵可以表示为分块矩阵的形式这里,由此位移模式可得单元中任意一点的应变矩阵(5-25)将式(5-19)代入式(5-24)可得(5-24)(5-23) 可见,由于采用了线性位移函数,应变矩阵是常数矩阵。因而单元中的应力及应变式是常数,这就是把这种单元称为常应变单元的原因。 若单元中存在初应变(由温度改变或是收缩的因素引起)00000Txyxye则单元的弹性应变 为e = -(5-27)(5-26
17、)l应力场由物理方程及式(5-27),可以得到单元的应力场表达式: (5-28)其中为应力矩阵,称为弹性矩阵,对于平面应力问题,00eDeDBDSDeSDBD21010(1)1002ED将应力矩阵表示为分块矩阵的形式,有: (5-29)其中: ijmSSSS2(, ,)2 (1)1122rrrrrrrrbcEbcri j mAcbSDB11(, ,)2 (1 2 ) 111 21 22 12 1rrrrirrrbcEbcri j mAcbSDB对于平面应变问题,只需将换为,换为 ,则(5-30)变为: E21E1(5-30)(5-31)l单元刚度矩阵(1)单元的应变能 (5-32)(2)单元上
18、外力的势能 1( )2TV dd *eTeTePbVeTeTebAeTeTeTePbSVSeTeTeTebSALEdVtdAEdVdStdAdL若单元的三边均不是物体的应力边界(也即没有边界属于S ),此时外力势能为若单元至少有一边是物体的应力边界时,外力势能中应增加表面力的外力势能,即F dF F NFF dF dF F NF NF(5-34)(5-33)由式(5-32)和式(5-34)得到单元的总势能为:*02eTTTTPAtAtdACE e B DBB Dee利用最小势能原理,取结点位移的变分,得到: 0 ee当为内部单元时*TeTeePbAEtdA FN F(5-35)(5-36)当单
19、元在边界处时(5-37)*TeTeTeePbSALEtdAdL FN FN F(5-38)若记:iiijikTjijjjkkikjkktAkkkkB DBkkkkkke0eTTeEbAAtdAtdAFB DN F或eEk FFeee(5-39)0eTTeTeEbbAALtdAtdAdLFB DN FN F则式(5-36)可改写为(5-41)(5-40)上式即为单元刚度方程式。单元刚度矩阵的显式表示, ,rx sxrx syTrsrsry sxry sykkr si j mkkkB DB对于平面应力问题,其刚度矩阵的显式: 21122, ,114 (1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb
20、 bc cb cc bEtr si j mAc bb cc cb bksrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAtE)1 (221)1 (2211)1 (2211)1 (221)21)(1 (4)1 (k平面应变问题(5-42)l等效结点荷载等效结点荷载矩阵可由式(5-40)计算获得,但是对一些简单荷载情况也不按式(5-40)计算,而是由静力等效原则直接取得。因此作用在弹性体上的外力,需要移置到相应的结点上成为结点荷载。荷载移置要满足静力等效原则。、 静力等效原则:指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。在一定的位移模式下这样的移置结果是唯一的,而且总能符合通
21、常理解的对刚体而言的静力等效原则。分布边界力的等效结点荷载TxTememejejeieieEtlpYXYXYX0001012FTxTememejejeieieEtlpYXYXYX000320312Fij边上均布力pxij边上三角形荷载pxSesTeEdstFNF分布体积力的等效结点荷载TememejejeieiAbTeEYXYXYXdAtFNFdxdypNpNpNpNpNpNtdAtTymxmyjxjyixiAbTeEFNFgppyx , 0),(3mjigtAYi0iX 例题5-2 试求例题5-1等腰直角三角形单元的刚度矩阵;若在单元边界点 处作用有竖向荷载 ,试求等效结点荷载矩阵 ,设 。
22、1011010010100101001aByP0eEF22aayPa2a13xy 解解:算例5-1已求出了形函数N1,N2和N3于是由式(5-24)有 当 时,平面应力问题与平面应变问题弹性矩阵D彼此相等,即01000200022ED 由式(5-29)可得1011010020200202002aEDBS 因此可得:1011010202001031211213010020201011014EtAtAtTTeSBDBBk又由(5-40),单元厚度为t=1:eTeESLdLFN F1231102222aaxyNNN当时,12312322000000011000022TeEyaaxyTyyNNNPNN
23、NPP F3.2.6整体刚度矩阵得到了单元刚度矩阵后,需要将一系列的将单元组成一个整体结构,然后根据结点载荷平衡的原则进行分析,得到整体刚度矩阵。整体分析包括以下4个步骤:(1)建立整体刚度矩阵,(2)根据支承条件修改整体刚度矩阵,(3)解方程组,求出结点的位移,(4)根据结点位移,求出单元的应变和应力。由单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法,即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。 整体刚度矩阵的集成 xy123456ijmijmijm单元编号单元编号单元结点局部编号单元结点局部编号单元结点整体编号单元结点整体编号(1)312(2)524(3)532(4)356ijmijmijmi
24、jmijm2j( )(2)m(2)i2j( )(2)jjk(2)jmk(2)jik(2)m(2)mjk(2)mmk(2)mik(2)i(2)ijk(2)imk(2)iik整体整体编号123456 局部编号0001 00000020003 000000400050006 000000以二单元为例 进行集装 mmjmimjmjjiiiiimijijimijimmmmjimijijiijjiijmmiijimijjmjmimmmjjmmmjjimjjjkk0k00kkkkkkkkk00kk0k0kkk0kkkkkk0kkkkkkkkk000kkk整体刚度矩阵 其中 K为二阶矩阵。由上表可以看出,整体
25、刚度矩阵也具有对称性。同时它是一个稀疏矩阵,即其中有大量的零元素,并且非零元素都集中于主对角线附近呈带状。和单元刚度矩阵一样,由于位移函数中包含刚体位移,所以整体刚度矩阵也是一个奇异矩阵。必须要排除刚体位移后,才能变为正定矩阵。 边界条件的处理 边界的约束情况 (1)基础支承结构 (2)具有对称轴的结构(3)具有给定位移边界的结构 边界条件的处理方法 (1)直接代入法 按结点位移已知和待定重新组合方程 对角元素改1法 nnjnnnnnpppKKKKKKKKnjnj000001000002121212121222111211只能用于给定零位移。 对角元素乘大数法 njjjnjnnnnjnjjjj
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