欧拉方程的求解.doc
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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域,我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢?他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783).几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚
2、数单位以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献1中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如的解,进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为 (1)的方程称为欧拉方程. (其中,为常数)2.1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如的
3、解)二阶齐次欧拉方程: . (2)(其中,为已知常数)我们注意到,方程(2)的左边、和的系数都是幂函数(分别是、和),且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数来尝试,看能否选取适当的常数,使得满足方程(2).对求一、二阶导数,并带入方程(2),得或消去,有 . (3)定义2 以为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程.由此可见,只要常数满足特征方程(3),则幂函数就是方程(2)的解.于是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论:定理1 方程(2)的通解为(i) , (是方程(3)的相等的实根)(ii), (是方程(3)的不等的实根)(iii).(是方程(
4、3)的一对共轭复根)(其中、为任意常数)证明 (i)若特征方程(3)有两个相等的实根: ,则是方程(2)的解,且设,(为待定函数)也是方程(2)的解(由于,即,线性无关),将其带入方程(2),得约去,并以、为准合并同类项,得由于是特征方程(3)的二重根,因此或于是,得或即 ,故 .不妨取,可得方程(2)的另一个特解所以,方程(2)的通解为(其中,为任意常数)(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根: ,则,是方程(2)的解.又不是常数,即,是线性无关的.所以,方程(2)的通解为(其中,为任意常数)(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:(),则,是方程(2)的两个解,利用欧拉公式,有显然,和
5、 是方程(2)的两个线性无关的实函数解.所以,方程(2)的通解为(其中,为任意常数)例1求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为即 ,其根为: ,所以原方程的通解为(其中,为任意常数)例2 求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为即 ,其根为: ,所以原方程的通解为(其中,为任意常数)例3 求方程的通解.解 该欧拉方程的特征方程为即 ,其根为: ,所以原方程的通解为(其中,为任意常数)2.2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)二阶非齐次欧拉方程:. (4) (其中,为已知实常数,为已知实函数)为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设,, (5)则方程(4)变为即, (6)根据韦达定理,
6、由(5)式可知,是一元二次代数方程 (3)的两个根.具体求解方法:定理2 若,为方程(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为 . (7)证明 因为,为方程(2)的两个特征根,于是方程(4)等价于方程(6),令 ,代入方程(6)并整理,得和解之,得方程(4)的通解为由定理2知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解.为了方便计算,给出如下更直接的结论.定理3 若, 为方程(2)的两个特征根,则(i)当是方程(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为(ii)当是方程(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为(iii)当是方程(2)的共轭复特征根时,方程(
7、4)的通解为证明 (ii)当是方程(2)的互不相等的的实特征根时,将方程(1)的通解(7)进行分部积分,得 (8)(iii)当是方程(2)的共轭复特征根时,再由欧拉公式有将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为(i)的证明和(ii)类似.例1求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为,特征根为 ,所以由定理3,原方程的通解为(其中,为任意常数)例2求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为特征根为 ,所以由定理3,原方程的通解为(其中,为任意常数)例3求方程的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为特征根为 ,所以由定理3,原方程的通解为(其中,为任意常
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