2022年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时提升作业(十六)新人教A版选修2-3.doc
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1、课时提升作业(十六)离散型随机变量的方差一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014广州高二检测)在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上,五位歌手的分数如下:9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,则五位歌手得分的期望与方差分别为()A.9.4,0.484B.9.4,0.016C.9.5,0.04D.9.5,0.016【解题指南】先求出五位歌手的平均得分,得到五位歌手得分的期望;再由方差计算公式求解五位歌手得分的方差.【解析】选D.五位歌手得分的期望=(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5.五位歌手得分的方差=(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9
2、.4-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.2.某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件,则计算抽出的10件产品中正品数的方差是()A.0.89B.0.121C.0.169D.0.196【解析】选D.用X表示抽得的正品数,由于是有放回地随机抽取,所以X服从二项分布B(10,0.98),所以方差D(X)=100.980.02=0.196.3.设服从二项分布B(n,p)的随机变量X的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n,p的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1【解析】选B.XB(n,p),
3、则E(X)=np.D(X)=np(1-p).即np=2.4,np(1-p)=1.44,则解出p=0.4,n=6,故选B.4.(2014石家庄高二检测)已知随机变量的分布列如表,则随机变量的方差D()的最大值为()012Py0.4xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1,写出y与x之间的关系,写出变量的期望和变量平方的期望,写出方差的表示式,表示式是一个关于x的二次函数,根据二次函数求最值可得答案.【解析】选B.由题意知y=0.6-x,因为E()=0.4+2x,所以E(2)=0.4+4x,D()=E(2)-(E()2=0.4+4x-(0.4+2x
4、)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,D()max=0.6.故选B.5.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量X=则X的方差D(X)=()A.mB.2m(1-m)C.1-mD.m(1-m)【解题指南】根据随机试验的结果只有A和,P(A)=m,随机变量X=得到随机变量符合两点分布,根据两点分布的方差公式得到结果.【解析】选D.因为由题意知一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,随机变量X=所以X服从两点分布,所以D(X)=m(1-m).故选D.6.(2014大连高二检测)2014年元旦联欢会上有四位同学分别写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人任意去拿一张,记自己拿
5、到自己写的贺年卡的人数为X,则随机变量X的方差D(X)为()A.3B.2C.1D.【解题指南】由题意可得:X可能取到的数值为0,1,2,4,分别计算出其发生的概率,进而可得X的分布列.根据X的分布列与期望、方差的公式可得答案.【解析】选C.由题意可得:X可能取到的数值为0,1,2,4.四张贺卡四人来取,总的取法有4321=24种,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为3(111+211)=9,四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是=,所以P(X=0)=,同理P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=.所有X的分布列为:X0124P由表可得:E()=0+1+2+4=1,所以D()=(1-
6、0)2+(1-1)2+(1-2)2+(1-4)2=1.故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013上海高考)设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则方差D()=.【解析】E()=x10,D()=(92+82+12+02+12+92)=30d2.答案:30d28.已知随机变量X的分布列如下表所示:X-102Pabc若E(X)=0,D(X)=1,则abc=.【解题指南】根据所给的离散型随机变量的分布列,利用三个概率之和等于1,期望值和方差,得到三个方程,解方程组求出a,b,c,即可求出abc的值.【解析】由分布列得a+b+c
7、=1,由期望E(X)=0得-a+2c=0,由D(X)=1得a(-1-0)2+b(0-0)2+c(2-0)2=1,即a+4c=1,由得a=,b=,c=,所以abc=.答案:9.(2014扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为.【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D()=np(1-p)n=,等号在p=q=时成立,所以D()max=100=25,=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)10.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课
8、.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率.(2)任选3名同学,记为3人中选报过第二外语的人数,求的分布列、期望和方差.【解析】设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.75,P(B)=0.6.(1)方法一:任选1名同学,该同学一门课程都没选报的概率是P1=P()=P()P()=0.250.4=0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9.方法二:任选1名同学,该同学只选报一门课程的概率是P3=P(A)+P(B)=0.750.4+0.250.6=0.4
9、5,该人选报两门课程的概率是P4=P(AB)=0.750.6=0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的,所以3人中选报过第二外语的人数服从二项分布B(3,0.9),P(=k)=0.9k0.13-k,k=0,1,2,3,即的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729的期望是E()=10.027+20.243+30.729=2.7(或的期望是E()=30.9=2.7),的方差是D()=30.9(1-0.9)=0.27.【变式训练】把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E(),D().【
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