2022年辅导资料:全等三角形问题中常见的辅助线的作法 .pdf
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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到三角形的中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目3)遇到等腰三角形,可作 底边上的高 ,利用“ 三线合一 ”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折” 4)遇到角平分线, 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平
2、分线的性质定理或逆定理5)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法: 在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线线段造全等例 1.已知:如图3 所示, AD 为 ABC 的中线,求证: AB+AC2AD。分析:要证 AB+AC2AD , 由图形想到:AB+BDAD,AC+CDAD,所以有: AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD,但它的左边比要证结论多BD+CD ,故不能直接证出此题,而由2AD 想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三
3、角形中去。证明:延长AD 至 E,使 DE=AD ,连接 BE,CE。EDCBA 3图例 3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. 因为 BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC 因为 E 是 DC 中点,所以 EC=1/2DC=1/2AC ABCDE3图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页ACE=BCA,所以 BCAACE 所以 ABC=CAE 因为 DC=AC ,所以 ADC=DAC ADC=ABC+BAD 所以 ABC+BAD=DAE+CAE 所以 BAD=DAE 即
4、 AD 平分 BAE应用:二、截长补短例 1.已知:如图1 所示,AD 为 ABC 的中线,且 1=2, 3=4。求证: BE+CFEF 。分析:要证BE+CFEF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知1=2, 3=4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN,FN,EF 移到同个三角形中。证明:在DN上截取DN=DB,连接NE,NF。延长 FD 到 G , 使 DG=FD, 再连结 EG,BG 1、如图,ABC中, AB=2AC ,AD平分BAC,且 AD=BD ,求证: CD AC 证明:取 AB 中点 E,连接 DE A
5、D=BD DEAB,即AED=90o【等腰三角形三线合一】AB=2AC AE=AC 又 EAD=CAD【AD 平分 BAC】AD=AD AEDACDSASC=AED=90oCDACCDBAABCDEFN1图1234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页EDCBADCBAPQCBA2、如图, AC BD ,EA,EB分别平分 CAB,DBA ,CD过点 E,求证 ;ABAC+BD 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE=ACE 又
6、AC 平行 BD 所以 ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以 ENB=BDE NBE=EBN BE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 3、如图,已知在ABC内,060BAC,040C,P,Q分别在 BC ,CA上,并且 AP ,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 证明:做辅助线 PM BQ,与 QC 相交与 M。首先算清各角的度数APB=180 BAPABP=180 30 80 =70且APM=180 APBMPC=180 70 QBC同位角相等 =180 70 40 =70
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