2022年辅导资料全等三角形问题中常见的辅助线的作法 .docx
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1、精品_精品资料_全等三角形问题中常见的帮助线的作法常见帮助线的作法有以下几种:1) 遇到三角形的 中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2) 截长法与补短法, 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分 等类的题目3) 遇到等腰三角形 ,可作 底边上的高 ,利用“ 三线合一 ”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折” 4) 遇到角平分线 ,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换
2、中的“对折” ,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特别方法: 在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的学问解答A一、倍长中线线段造全等例 1.已知:如图 3 所示, AD 为 ABC 的中线,D求证: AB+AC2AD.BC分析:要证 AB+AC2AD,由图形想到: AB+BDAD,AC+CDAD,所以有: AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD,E图3但它的左边比要证结论多BD+CD ,故不能直接证出此题,而由2AD 想到
3、要构造 2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去.证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD ,连接 BE, CE.ABDEC3图例 3、如图, ABC中, BD=DC=A,C E 是 DC的中点,求证: AD平分 BAE.由于 BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC由于 E 是 DC 中点,所以 EC=1/2DC=1/2AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACE= BCA ,所以 BCA ACE所以 ABC= CAE由于 DC=AC ,所以 ADC= DACADC= ABC+ BAD所以 ABC+ BAD= DAE+ CAE所以 BAD= DAE即 AD
4、平分 BAE应用:二、截长补短例 1.已知:如图 1 所示, AD 为 ABC 的中线,且 1= 2, 3= 4.求证: BE+CFEF .分析:要证 BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF ,EF 移到同一个三角形中,而由已知1= 2, 3= 4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN , FN ,EF 移到同个三角形中.证明:在DN上截取DN=DB,连接NE,NF.ANEFB1 2 3D图 14C1、如图,证明:延长 FD 到 G , 使 DG=FD,BAC ,且 AD=BD,求证: CD AC再连结 EG,BGABC 中, AB=2AC, A
5、D平分取 AB 中点 E,连接 DEAD=BD DE AB,即 AED=90o 【等腰三角形三线合一】AB=2ACAE=AC又 EAD= CAD 【AD 平分 BAC 】AD=AD AED ACD SAS C=AED=90oCD ACABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如图, AC BD, EA,EB分别平分 CAB, DBA, CD过点 E,求证 ;AB AC+BD在 AB 上取点 N , 使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以 ANE= ACE又 AC 平行 BDAD所以 ACE+ BDE=180而 ANE
6、+ ENB=180所以 ENB= BDEE NBE= EBNBE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、如图,已知在ABC内,BAC060 , C40 0 ,P,Q分别在 BC,CA上,并且 AP,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线.求证: BQ+AQ=AB+BP证明:做帮助线 PMBQ,与 QC 相交与 M.B第一算清各角的度数Q APB=180 BAP ABP=180 30 80=70且 APM=180 APB MPC=
7、180 70QBC 同P位角相等 =18070 40=70 APB= APM又 AP 是 BAC 的角平分线,C BAP= MAPAP 是公共边 ABP AMP 角边角AB=AM ,BP=MP在 MPC 中, MCP= MPC=40 MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC 中 QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BPA4、角平分线 如图, 在四边形 ABCD中,BC BA,AD CD,BD平分ABC ,D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证:AC180 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_延长 BA,
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