《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案汇总.pdf
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1、管理运筹学 ( 第二版 )课后习题参考答案第 1 章线性规划 ( 复习思考题 ) 1. 什么是线性规划?线性规划的三要素是什么?答:线性规划 (Lin ear Programmi ng , LF) 是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划,是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制,保障决策方案的可行性;目标函数是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现
2、极大值,有的则要求极小值。2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果,哪种结果说明建模时有错误?答:(1)唯一最优解:只有一个最优点;(2)多重最优解:无穷多个最优解;(3)无界解:可行域无界,目标值无限增大;(4)没有可行解:线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时,可能是建模时有错。3. 什么是线性规划的标准型?松弛变量和剩余变量的管理含义是什么?答:线性规划的标准型是:目标函数极大化,约束条件为等式,右端常数项 ,决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力,对企业来说不是紧缺资源,所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话,则说明“遅 约束
3、的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。4?试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答:可行解:满足约束条件扎丸的解,称为可行解。基可行解:满足非负性约束的基解,称为基可行解最优解:使目标函数最优的可行解,称为最优解。最优基:最优解对应的基矩阵,称为最优基。它们的相互关系如右图所示:5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划解:标准化1可行基:对应于基可行解的基,称为可行基。基可行解SA + S 2 1s.t. 列出单纯形表/4 3/2 0 1/2 8 /8 3/2 /6 /8 1/8 5/4 /4 1/2 /8 1/4/(1/8 3/4 13/2/(1/4 512 5故
4、最优解为二- 1,即心I八,此时最优值为 1士匚6. 表1 15中给出了求极大化问题的单纯形表,问表中1为何值及变量属于哪一类型时有:(1)表中解为唯一最优解;(2)表中解为无穷多最优解之一;(3)下一步迭代将以代替基变量;(4)该线性规划问题具有无界解;(5)该线性规划问题无可行解。表1 15某极大化问题的单纯形表勺巧6 0: :b -i50 d 4解:加入人工变量,进行人造基后的数学模型如下:解: (1) , 11;(2) 阮存匚 監D 小口中至 少有一 个为零) . 7(3) 八d 3c. 0, a, 0* 4 心. (4) 为人工变量,且为包含M的大于零的数 , 量,且 为包含M的大于
5、零的数,. (5) 为人工变7 ?用大M法求解如下线性规划max Z = 5A, +3X; +6州2 + x2 4 3咼 290 xu+ x3l 270若j + 350s.t. 口“小9?某公司在3年的计划期内,有4个建设项目可以投资:项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资,年末可收回本利120%,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划;项目II需要在第一年初投资,经过两年可收回本利150%,又可以重新将所获本利纳入投资计划,但用于该项目的最大投资不得超过20万元;项目III需要在第二年年初投资,经过两年可收回本利160%,但用于该项目的最大投资不得超过15万元;项目IV需要在第
6、三年年初投资,年末可收回本利140%,但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内,该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润?山门|解:设表示第一次投资项目i,设?表示第二次投资项目i,设?表示第三次投资项目i,(i=1,2,3,4),则建立的线性规划模型为max Z- 1.2* + L61; + 1+4* 牢+屮s 30 x(c2F+A;hL2A;) + 30-A;H-1.2屮】 + L5h+ 1.2宮” + 30 - x;1-.曙- 屮岸乜15)0.LU:性0上123冲通过LINGO软件计算得:,- 1- 1 110?某家具制造
7、厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表117给出。问工厂应如何安排生产,使总利润最大?表117家具生产工艺耗时和利润表生产工序所需时间(小时)每道工序可用时间(小时)12345成型346233600打磨435643950上漆233432800利润(百元)2.734.52.53解:设表示第i种规格的家具的生产量(i=1,2,-,), 则max Z二+ 3乳+ 4.5.t + 2.5r +3 3X + 4A,+ 6 A.+ 2 AJ+ 3 36004為 + 3儿 + 5旺+ &旺 + 4A5
8、39502州+ 3x2+ 3A,+ 4.q + 3旺 0,/- L2,-%5通过LINGO软件计算得 : 厂黑 识氏 - 讥?-沁I -沁】11 ?某厂生产甲、乙、丙三种产品,分别经过A, B, C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表210所示。表1 18产品生产工艺消耗系数设甲乙丙备能力A (小时)111010B (小时)1045060C (小时)226030单位产品利润(元)1064(1)建立线性规划模型,求该厂获利最大的生产计划。(2)产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产?如产品丙每件的利润增加到6, 求最优生产计划。(3)产品甲的
9、利润在多大范围内变化时,原最优计划保持不变?(4)设备A的能力如为100+10q,确定保持原最优基不变的q的变化范围(5)如合同规定该厂至少生产10件产品丙,试确定最优计划的变化。解:(1)设 分别表示甲、乙、丙产品的生产量,建立线性规划模型max Z = 10 片+6X2+ 铭0I(X)10X, + 4 v:+ 6002珀-2也+ 6 0标准化得max Z = 10 ij + 6 吗 + 4 杓 + Di. +0 x5 + 0 兀%r+ x, + = 10010 州+ 42+ 5* + Xj = 6002 4- 2JT?+ 6 码 + = 300s.t. 斗、耳q 0列出单纯形表010640
10、0r,b百X.0100111060010450300226T1064001 0 0 1000 1 0 600 0 1 15004003/51/210 200/31/10106012/51/201/10 0 150018006/5501 1501/502-10106%200/3015/65/301/610100/3101/62/31/6 0010000420 1008/310/32/30故最优解为L = 100 13:Xy -200 y,又由于 取整数,故四舍五入可得最优解为=671= 732(2) 产品丙的利润变化的单纯形法迭代表如下: 1065 000H儿b耳町q、6200/3015/65/
11、301/610100/3101/62/31/6 0010000420 10020/310/32/30要使原最优计划保持不变,只要20Cj_T0 2,即26a 6.673 .故当产品丙每件的利润增加到大于6.67 时,才值得安排生产。如产品丙每件的利润增加到6时,此时66.67,故原最优计划不变。(3) 由最末单纯形表计算出,I 2 A A打* =I ?. j =一10 + C| =】一 一 G 兰06 3 6, 解得 . ,即当产品甲的利润在I范围内变化时,原最优计划保持不5/3 -1/6 (T-2/3 1/6 0 1丿,新的最优解为解得八匕鼓,故要保持原最优基不变的(5) 如合同规定该厂至少
12、生产10件产品丙,则线性规划模型变成max Z= 10占十6坷+ 4為Ar+ ? + 舌 10010 E + 4 ,Y?+5 . ¥? 600* 2 州 * 2 扎 + 6 召 10s.t. S勺小去通过LINGO软件计算得到:三沢乜 沁沁 、=二总懐第 2 章对偶规划 (复习思考题 ) 1 ?对偶问题和对偶向量(即影子价值 ) 的经济意义是什么?答:原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题,前者从产品产量的角度来考察利润,后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润,即利润是产品生产带来的,同时又是资源消耗带来的。* 5/3-1/6r100 1 10 y(200 + 50g 1-
13、2/30(W二亍100 -20 (/ I-201Ji 300 ,3(100 - 20q)X; - B bf=B(4) 由最末单纯形表找出最优基的逆为对偶变量的值表示第i种资源的边际价值,称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。2 ?什么是资源的影子价格?它与相应的市场价格有什么区别?答:若以产值为目标,则是增加单位资源i对产值的贡献,称为资源的影子价格 (Shadow Pric?。即有影子价格=资源成本+影子利润”因为它并不是资源的实际价格,而是企业内部资源的配比价格,是由企业内部资源的配置状况来决定的,并不是由市场来决定,所以叫影子价格。可以将资源
14、的市场价格与影子价格进行比较,当市场价格小于影子价格时,企业可以购进相应资源,储备或者投入生产;当市场价格大于影子价格时,企业可以考虑暂不购进资源,减少不必要的损失。3. 如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系,找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系?答: (1)最优性定理:设 ?分别为原问题和对偶问题的可行解,且= h!f,则X分别为各自的最优解。(2)对偶性定理:若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,而且两者的目标函数值相等。(3) 互补松弛性:原问题和对偶问题的松弛变量为 和、,它们的可行解;为最优解的充分必要条件是b (4) 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中,初始基变
15、量的检验数的负值。若对应于原问题决策变量x的检验数,则对应于原问题松弛变量的检验数。4. 已知线性规划问题mai Z二铭 + 山 + lx、河* 3心* 玄2 ( 第”种资源 )* 6旺4- x2+ Xj K ( 第二种资源 )(1)求出该问题产值最大的最优解和最优值。(2)求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。(3)给出两种资源的影子价格,并说明其经济含义;第一种资源限量由2变为4, 最优解是否改变 ? (4) 代加工产品丁,每单位产品需消耗第一种资源2单位,消耗第种资源3单位,应该如何定价?解:(1) 标准化,并列出初始单纯形表b 2 0 021/8由最末单纯性表可知,该问题的最优解为:
16、Aj =Q, X)= 0,為-2028310无86114120041/413/81/8/8013/265/41/43/401/23/2-1/202.1283106220112502080/61 2- 261(2)由原问题的最末单纯形表可知,对偶问题的最优解和最优值为: (3)两种资源的影子价格分别为2、0, 表示对产值贡献的大小;第一种资源限量由2变为4, 最优解不会改变。(4)代加工产品丁的价格不低于】一5. 某厂生产A, B, C, D4种产品,有关资料如表26所示。表26耗资源消产品资源供应量原料成本资源(公斤)(元/公斤)ABCD甲2312800 2.0乙54341200 1.0丙34
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