2022年2022年考研数学一真题及答案解析 .pdf
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1、第 1 页2017 年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题: 18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .(1)若函数1cos,0( ),0 xxf xaxb x在0 x处连续,则()【答案】 A【解析】0011cos12limlim,( )2xxxxf xaxaxa在0 x处连续选 A.(2)设函数( )f x可导,且( )( )0f x fx,则()【答案】 C【解析】( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfx或,只有 C 选项满足(1)且满足(2), 所以选 C。
2、(3)函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u的方向导数为()【答案】 D【解析】2(1,2,0)1 2 22,2 ,4,1,04,1,0 ,2.|u |3 3 3fugradfxy xzgradfgradfu选 D.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10 (单位: m )处,图中实线表示甲的速度曲线1( )vv t(单位:/m s) ,虚线表示乙的速度曲线2( )vvt,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3 , 计时开始后乙追上甲的时刻记为0t(单位:s) ,则()【答案】 B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 【解析】从 0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲,则0210(t)v (t)10tvdt,当025t时满足,故选 C.(5)设是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则()【答案】 A【解析】选项 A,由()0TE得()0TEx有非零解,故0TE。即TE不可逆。选项 B, 由()1Tr得T的特征值为 1 个 0,1. 故TE的特征值为 1 个 1,2.故可逆。其它选项类似理解。(6)设矩
4、阵200210100021 ,020 ,020001001002ABC,则()【答案】 B【解析】由()0EA可知 A 的特征值为 2,2,1因为3(2)1rEA,A 可相似对角化,且由0EB可知 B 特征值为 2,2,1.因为3(2)2rEB,B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化,AC,且 B 不相似于 C(7)设,A B为随机概率,若0( )1,0()1P AP B,则()()P A BP A B的充分必要条件是()【答案】 A【解析】按照条件概率定义展开,则选项符合题意。(8)设12,(2)nXXXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本,记,则下列结论中名师资料总结 - - -精品资
5、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 第 3 页不正确的是()【答案】 B【解析】由于找不正确的结论,故B 符合题意。二、填空题: 914 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 .(9) 已知函数,则(3)(0)f【答案】(0)6f【解析】(10) 微分方程230yyy的通解为y【答案】12(cos 2sin2 )xyecxcx, (12,c c为任意常数)【解析】齐次特征方程为21,223012i故通解为12(cos
6、 2sin2 )xecxcx(11) 若曲线积分在区域22( , ) |1Dx yxy内与路径无关,则【答案】1a【解析】22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与路径无关知(12) 幂级数在区间( 1,1)内的与函数( )S x【答案】【解析】1112111( 1)( 1)1(1)nnnnnnxnxxxx(13 )设矩阵,123,为线性无关的 3 维列向量组,则向量组123,AAA的秩为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 -
7、- - - - - - - - 【答案】 2【解析】由123,线性无关,可知矩阵123,可逆,故123123,r AAArArA再由2rA得123,2r AAA(14 )设随机变量X的分布函数为4( )0.5 ( )0.5()2xF xx,其中( ) x为标准正态分布函数,则EX【答案】 2 【解析】0.54( )0.5 ( )()22xFxx,故0.540.5( )()22xEXxx dxxdx( )0 xx dxEX。令,则 =242( )8 14( )8tt dttt dt因此()2E X. 三、解答题: 15 23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明
8、、证明过程或演算步骤.(15 ) (本题满分 10 分)设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数,(,cos)xyf ex,求,【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx【解析】结论:(16 ) (本题满分 10 分)求【答案】14【解析】(17 ) (本题满分 10 分)已知函数( )y x由方程333320 xyxy确定,求( )y x的极值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - -
9、- 第 5 页【答案】极大值为(1)1y,极小值为( 1)0y【解析】两边求导得:2233 33 0 xy yy(1)令0y得1x对(1)式两边关于 x 求导得22663 3 0 xy yy yy(2)将1x代入原题给的等式中,得,将1,1xy代入( 2)得(1)10y将1,0 xy代入( 2)得( 1)20y故1x为极大值点,(1)1y;1x为极小值点,( 1)0y(18 ) (本题满分 10 分)设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数,且,证明:( )方程( )0f x在区间(0,1)内至少存在一个实根;()方程2( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个
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