2022年中考专题复习之相似三角形 .pdf
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1、中考专题复习之相似三角形(一)知识考点:本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用,这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题:【例 1】如图,点O 是 ABC 的两条角平分线的交点,过O 作 AO 的垂线交 AB 于 D。求证: OBD CBO。分析: 此题不易得到边的比例关系,但O 点是三角形的角平分线的交点,有多对相等的角,故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知:1 2 DAO 900,再由 AO DO 可得 5 1 2,而 5 34,从而 1 2 3 4,由 1 3 可得 2 4,于是结论得证。例 1 图54321ODCBA变式 1 图
2、OEDCBA例 2 图FEDCBA变式 1:已知如图,在 ABC 中,AD AE,AO DE 于 O,DE 交 AB 于 D,交 AC 于 E,BO 平分 ABC 。求证:BCBDBO2。变式 2:已知如图(同变式1 图),在 ABC 中, O 为两内角平分线的交点,过点O 作直线交AB 于 D,交 AC于 E,且 AD AE。求证:( 1) BDO OEC;( 2)CEBDDO2。【例 2】如图,在 ABC 中, BAC 900,AD BC 于 D,E 为 AC 中点, DE 交 BA 的延长线于F。求证: ABACBFDF。分析: 由于 ABC 和 FBD 一个是直角三角形,一个是钝角三角
3、形,不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论,势必要找“过渡”的线段或线段比,这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明: ABAC ,AD BC RtABD RtCAD , DAC B ADBDACAB又 AD BC,E 为 AC 中点DEAE, DAE ADE B ADE 又 F F FAD FDB DFBFADBD由得DFBFACAB变式: 本题条件、结论不变,而只改变图形的位置时,如下图所示,本题又该怎样证明呢?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
4、第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 例 2 变式图 1 FEDCBA例 2 变式图 2 FEDCBA例 3 图GFEDCBA【例 3】如图,梯形ABCD 中, AD BC,BECD 于 E,且 BCBD,对角线AC 、BD 相交于 G,AC、BE 相交于 F。求证:FAFGFC2。分析: 由于 FG、FA、FC 三条线段在同一直线上,不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是 DC 的垂直平分线,于是连结FD 得 FD FC,再证 FDG FAD 即可。探索与创新:【问题一】如图,ACB ADC 900,AC6,AD 2。问当 AB 的长为多少时,这两个
5、直角三角形相似?略解: AC 6,AD 2 CD222ADAC要使这两个直角三角形相似,有两种情况:(1)当 RtABC RtACD 时,有ACABADAC32ADACAB(2)当 RtACB RtCDA 时,有ACABCDAC232CDACAB故当 AB 的长为 3 或23时,这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图,正方形ABCD 的边长为 1,P 是 CD 边的中点,点Q 在线段 BC 上,设 BQk,是否存在这样的实数k,使得 Q、C、P 为顶点的三角形与ADP 相似,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。略解:假设存在满足条件的实数k,则在正方形ABCD 中, D C900,由
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