2022年飞机排队模型 .pdf
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1、飞机排队模型一. 问题的 提出机场通常都是 用先到先服务的原则来分配飞机跑道,即当飞机准备好离开登机口时 ,驾驶员电告地面控制中心 ,加入等候跑道的队伍。假设控制中塔可以从快速在线数据库中得到每架飞机的如下信息: 1. 预定离开登机口的时间 ; 2 实际离开登机口的时间 ; 3.机上乘客人数 ; 4.预定在下一站转机的人数和转机的时间; 5.到达下一站的预定时间 ; 又设共有七架飞机 ,载客量从 100人起以 50人递增,载客最多的一种是400人。试开发和分析一种能使乘客和各航空公司双方满意的数学模型。在目前的各国机场 ,一般都使用先到先服务的排对系统,这一系统虽一直延用,但效率不高 ,且不能
2、调节意外情况的发生。将要给出一个利用数据库系统快速排队的模型,以使机场高效的服务,并使航空公司在尽量小的花费情况下,达到顾客满意的目的。二. 模型的基本假设1. 机场上所有要起飞的飞机,都须使用同一条跑道,并且任何一架飞机在起飞的时候都需要完全地占有整条跑道,每架飞机占用的时间一样长的。2. 第 i 架飞机由第 j 个 时间段上起飞时,其所需费用仅与该飞机i 和时间位置 j 有关,而与它前面是哪架飞机无关。3. 任何飞机从离开自己的通道口到达跑道入口所需的时间假定都一样。同时为了避免有一大堆飞机挤在跑道入口处等待起飞,这时如有另一架飞机需要紧急起飞,这就须将所有排在前面的飞机挤到一边来腾地方,
3、因此我们假设每架飞机都有立即进入跑道口的通道。4. 设是一架飞机要按时到达目的地所必须起飞的最晚时限,并假设如果一架飞机在 时限以后才起飞 ,则它必须以最大安全速度飞完全程。5. 如果一架飞机在时限以后起飞 , 则该机上所有需转机的乘客都将误了下次班机 , 并设给予每位乘客用于赔偿重新安排旅行计划的补偿费用是一样的。三模型设计与可行性分析 如果在某时刻t0仅有一架飞机或没有要求起飞的飞机, 则机场就直接安排其起飞或闲置即可。因此设在t0有 n 架飞机同时要求起飞。由假设1,我们可将 n架飞机起飞所需的总时间分成n 个等长的小时间段。为此我们设 Cij为第i架飞机从第 j 个小时间段上起飞时所需
4、的一切费用之和,所有可能的排序带来的费用计算有如下的费用矩阵表示: C11 C12C1n C21 C22 C2n (1) C= Cn1 C n2Cnn并设 Xij= 1 第架飞机被指定在第j 个小时间段窗口起飞 0 否则相应有安排方案矩阵为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - x11 x12 x1nx21 x22 x2n X= (2)xn1 xn2 x nn故矩阵( 2)对应如下排列方案:窗口飞机1 2 3 n 1 0
5、 1 o 0 2 1 0 0 0 .n 0 0 0 1 即第 i 架飞机排第 2 个窗口起飞 ,第 2 架排第 1 个窗口起飞 ,.,最后一架排最后起飞。并由上表的安排结构,我们知道 (2)中的矩阵须满足每行中仅有一个元素为1,即每个窗口上仅有飞机一架飞机占用;该阵该列中也仅有一个元素为1,即每架飞机占用 n 个窗口中的一个。即变量须满足约束:xij (行和为 1)i=1,2, ,n(3)xij (列和为 1)j=1,2, ,n由于 xij 为取 0,1 值的变量,因此不同的分派安排对应的仅是xij 取 1 的位置不同而已。于是设 c1为安排第 1 架飞机的费用c1=c11x11+c12x12
6、+ +c 1nx1n全部飞机安排的费用为 z=cijxij 即构成我们的目标函数。为求得使c 达最小的 xij,构造如下线性规划模型: mincx n 约束条件 j=1 xij,i=1,2,n n (4)i=1 xij,j=1,2,nxij=0 或 1 其中 C =(C12,C12,C1n,C21,C22, ,C2n, ,Cnn)为一行向量。X=(x11,x12,x1n,x21,x22,x2n, ,xn1,xn2,xnn) 为一列向量, 为转置符号四模型中费用系数阵的量化为简化计算,我们可以把基本运行费用置为费用零点,而只考虑由于飞机延迟起飞而引起的费用。 这一费用包括由于晚点而不在以最经济的
7、速度而是以最快速度飞行带来的燃料损失; 及乘客因耽误下站转机而重新安排旅途的损失;及顾客因耽误带来的不愉快而转化的损失。下面分别建立几个费用的计算公式。1燃料附加费由于晚点,飞机必须以尽可能的速度飞行,故燃料随晚点的时间长短而变化,然而既使晚点, 只要未达到最大时限, 就都可以以低于最大安全速度飞行。并在起飞后就可近似地保持常速, 因此燃料消耗在单位时间应恒定,由于不知道燃料消耗如何随飞行速度变化, 故选用近似的线性函数, 即单位时间增加油耗的费用函数为:F(t0)=K0t t=其中扣除飞行的一般油耗,只计入增加的油耗,式中:t:为飞机晚点的时间; k0为每晚点单位时间由加速引起的增加油耗的价
8、格,同时与不同引擎的飞机有关。又由于飞机耗油总数还与飞行距离有关,因此总费用为F0(t).d/vmax, 其中 d 为飞行距离, 由d=Vmax(TA- ) 计算,TA 为飞机预定到达时间, Vmax 为最大安全飞行速度。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 因此 有一架飞机因晚点增加的费用为:F(t)=kt(TA-) t(5)k(TA-) t由公式知,飞机晚点越久,则耗油越多,直到它离开时即以最大速度起飞。为了建模方
9、便,将一些参数给出一个总表:t0: 第一个窗口的起始时间;t: 飞机晚点时间,或从计起,飞机真正起飞的时间;td: 为一架飞机预定起飞的时间; (d 为 departure )TA:为一架飞机预定起飞的时间; (A为 Arrival): 为等长的起飞间隔时间段的长度,也称为起飞窗口;j: 为第 j 个窗口的标号;k: 用来决定某种飞机单位时间增加燃料费用的常系数,它一般与飞机型号有关;Vmax:一种飞机的最大安全飞行速度;Vav:一种飞机按时起飞的平均速度,它与飞机型号有关;(average)r: 用来计算耽误了转机的乘客重新安排旅途的费用;: 机上须转乘的人数;p: 机上登机的总人数;a:
10、将由晚点而引起的乘客的不满意程度转换成美元的转换系数;b: 将由晚点而耽误转机的乘客的愤怒转换成美元的转换系数;: 反映乘客对晚点不满意上升的快慢程度的因子;Cij: 第 i 架飞机在第 j 个窗口起飞的确总费用;于是 ,t=t0-td+(j-1), 这里要求td0 由假设 5,如果飞机晚点,则所有须转机的个乘客都将误了转机,若放宽此条件,则 R(t) 将是一些阶跃函数之和。3. 乘客不满意的损失由于飞机晚点越多, 则乘客越不满意, 如果仅晚点一两分钟, 则顾客不会太不满意;但如果晚点到误了转乘班机,则顾客会顿时变得焦躁不安且非常愤怒,这一情况可以适当地描述为一个指数增长函数附加一个阶跃函数,
11、则总的费用函数为:D(t)=(exp(t)-1)aP+b u(t- ) (7)其中,a,b 都是常数,且 P为乘客数;为要转乘的乘客数;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 为反映乘客等待时不满意上升快慢的因子; exp(t)-1 中(-1 )是为了使(即飞机准时起飞)时最小的不满意置零的项; a,b为将相应的不满意转化为美元的系数; u(t-) 为单位阶跃函数,它表达了因误转机而顿时产生的不满意. 常数 a,b一般不
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